Рассматриваются конфигурационные графы с N вершинами. Степени вершин являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими дискретное степенное распределение с параметром τ > 0. Этот параметр имеет две критические точки: τ = 1 и τ = 2. Свойства графа резко изменяются, когда τ = τ (N) при N → ∞ проходит через эти точки. Пусть GN,n-случайный конфигурационный граф, рассматриваемый при условии, что сумма степеней его вершин равна n. Доказана предельная теорема для максимальной степени вершины графа GN,n при N, n → ∞ и τ → 1 или τ → 2. Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, проект №13-01-00009а. Ключевые слова: случайный граф, конфигурационный граф, максимальная степень вершины, степенной закон распределения, критическая точка, предельные теоремы