Про Коефіцієнти Транзитивності Частково Впорядкованих Множин, Що Мають Надсуперкритичний Непримітивний MM-тип

Abstract

М. М. Клейнер довів, що ч. в. (частково порядкована) множина S має скінченний зображувальний тип тоді і лише тоді, коли вона не містить ч. в. підмножин вигляду (1,1,1,1), (2,2,2), (1,3,3), (1,2,5), (N,4). Ці ч. в. множини називаються ч. в. множинами Клейнера і є (з точністю до ізоморфізму) всіма критичними ч. в. множинами щодо скінченності типу (в тому сенсі, що це мінімальні ч. в. множини нескінченного зображувального типу). Пізніше Ю. А. Дрозд довів, що ч. в. множина S має скінченний зображувальний тип тоді і лише тоді, коли квадратична форма $$ q_S(z)=:z_0^2+\sum_{i\in S} z_i^2+\sum_{i<j, i,j\in S}z_i z_j-z_0\sum_{i\in S}z_i,$$ яка називається квадратичною формою Тітса множини S, є слабко додатною (тобто додатною на множині невід'ємних векторів). Отже, ч. в. множини Клейнера є критичними щодо слабкої додатності квадратичної форми Тітса. У 2005 році автори довели що ч. в. множина є критичною щодо додатності квадратичної форми Тітса тоді і лише тоді, коли вона мінімаксно ізоморфна деякій ч. в. множині Клейнера. Подібну ситуацію маємо для ч. в. множин ручного зображувального типу. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множина S є ручною тоді і лише тоді, коли вона не містить ч. в. підмножин вигляду (1,1,1,1,1), (1,1,1,2), (2,2,3), (1,3,4),(1,2,6), (N,5). і ч. в. множини є критичними щодо слабкої невід'ємності квадратичної форми Тітса і називаються суперкритичними. У 2009 році автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невід'ємності квадратичної форми Тітса тоді і лише тоді, коли вона мінімаксно ізоморфна деякій суперкритичній ч. в. множині. Перший автор запропонував ввести так звані надсуперкритичні (або 1-надсуперкритичні) ч. в. множини, які відрізняються від суперкритичних ч. в. множин в тій самій мірі, що і останні відрізняються від критичних. Серед цих ч. в. множин є єдина не примітивна, тобто яка не є прямою сумою ланцюгів. У цій статті ми описуємо всі ч. в. множини, які мінімаксно ізоморфні їй, і вивчаємо деякі їхні комбінаторні властивості. Важливість вивчення мінімаксно ізоморфних ч. в. множин визначається тим, що їх квадратичні форми Тітса Z-еквівалентні, а сам мінімаксний ізоморфізм є досить загальною конструктивно визначеною Z-еквівалентністю для квадратичних форм Тітса ч. в. множин.