Равномерная Сходимость Субгауссовских Интегралов

Abstract

В статье изучаются условия и оценки скорости равномерной сходимости по вероятности строго субгауссовских интегралов вида Sj(*)= Г T(«,A)rff(A). Полученные оценки совпадают по порядку с аналогичными для гауссовских процессов. Ключевые слова и фразы: стохастический интеграл, субгауссовский про цесс, равномерная сходимость, оценка сходимости, условие сходимости. Многие случайные процессы допускают представление в виде стохастических интегралов в среднем квадратическом X(t) = (ср. кв.) f^T(t,\)d£(\). Такие ин тегралы не обладают свойствами, которые имеют место для обычных интегралов, например, формула интегрирования по частям. В работе изучаются интегралы, при некоторых предположениях стохастически эквивалентные интегралам X(t) } но обла дающие свойствами, которыми X(t), вообще говоря, не обладают. Определим интеграл следующим образом: Г 7(A) d£(X) = 7(A) е(А) \ ь а-[" «А) <* 7 (А), (1) где 7(A)-непрерывная функция ограниченной вариации на [а, 6], £(А)-случайный процесс на [а, Ь], f£ f (A) dj(X)-интеграл Лебега по обобщенной мере, порожденной функцией 7(A). Будем считать, что случайный процесс £(£) принадлежит классу ^, если почти все траектории £(t) измеримы на [а, 6] и / д 6 E|f(i)| dj(X) < оо. По теореме Фубини почти для всех траекторий определен интеграл Лебега J a £ (A) 07(A). Следовательно, для процессов из $\ с вероятностью 1 определен инте грал (1). Более подробно свойства таких интегралов изучались в работе [1]. Там же доказаны следующие утверждения. Утверждение 1. Пусть £(t)-измеримый процесс второго порядка на [а, 6], E£(t) = 0, E£(t)£(s) = r(t, 5), |r(t, s)| < D < 00. Тогда с вероятностью 1 существу ет интеграл f£ 7(A) (А). Если существует интеграл в среднем квадратическом (ср. кв.) 7(A) d%(\) и интеграл Римана-Стилтьеса f^f^r(t 1 s)d , y(t)dj(s) 1 то с вероятностью 1 la 7(A) «(А) = (ср. кв.) 1 Ъ а 7(A) #(А). Интеграл 7(A) d£(A) определим как предел .по вероятности, если он существует: /+~ 7 (А) d£(A) = Um.^_ e 0 l b _ + e o / в 6 7 (А) <1«А). *Киевский национальный университет им. Т. Г. Шевченко, ул. Владимирская,