Рекуррентная Процедура Построения Неизотропных Матричных Элементов Интеграла Столкновений Нелинейного Уравнения Больцмана

Abstract

Предложен алгоритм последовательного построения неизотропных матричных элементов интеграла столк-новений, необходимых для решения нелинейного уравнения Больцмана моментным методом. Стартовыми при этом являются изотропные матричные элементы, считающиеся известными. Алгоритм может быть использован для произвольного закона взаимодействия при любом отношении масс сталкивающихся частиц. DOI: 10.21883/JTF.2017.08.44718.2154 Введение Многие современные прикладные и технические про-блемы требуют глубокого изучения кинетических про-цессов в смесях газов. Кинетический подход на уровне расчета функции распределения (ФР) необходим в за-дачах, где ФР не только сильно отклоняется от макс-велловского распределения, но и, кроме того, является сильно анизотропной. К таким задачам относится ки-нетическое описание структуры ударных волн и неста-ционарных процессов их взаимодействия. Серьезной проблемой такого же рода является описание неста-ционарных процессов переноса в низкотемпературной плазме.Одним из эффективных методов расчета функции распределения является моментный метод. В его основе лежит разложение ФР по набору базисных функций. Уравнение Больцмана при этом сводится к системе уравнений для коэффициентов разложения, а интеграл столкновений заменяется матрицей, элементы которой представляют собой коэффициенты разложения интегра-ла столкновений по базисным функциям.Развитие моментного метода прежде всего связано с именем Барнетта [1,2]. В его работах фактически впервые выписана система нелинейных моментных урав-нений. В качестве базисных функций была выбрана система ортогональных с максвелловским весом функ-ций, представляющих собой произведения сферических гармоник и полиномов Сонина. В дальнейшем такой набор базисных функций получил название функций Барнетта. Были рассмотрены нелинейные матричные элементы (МЭ) интеграла столкновений в этом базисе. Как отмечал сам Барнетт, формулы для вычисления нелинейных МЭ получаются чрезвычайно громоздкими. Поэтому при конкретных расчетах Барнетт и его по-следователи (см., например, [3]) ограничились вычисле-ниями для максвелловских молекул и модели твердых сфер при l ≤ 3, где l -порядок полинома Лежандра в разложении ФР.В 1966 г. Кумар [4] проанализировал различные систе-мы полиномов, которые использовались при разложении ФР в кинетической теории газов. Он показал, что наибо-лее экономичной является система функций Барнетта. Кумар продвинулся также в исследовании структуры нелинейного интеграла столкновений. Он предложил использовать при расчете нелинейных МЭ преобразо-вание Талми, которое ранее успешно использовалось в квантовой теории.Идеи Кумара нашли свое продолжение в работах ученых австралийской школы [5][6][7][8]. В этих работах моментный метод используется в основном для по-строения транспортных коэффициентов при движении заряженных частиц во внешних полях. Несмотря на то что в данном случае рассматривался линейный интеграл столкновений, до последнего времени не удавалось по-строить достаточное количество членов разложения ФР.Проблема расчета МЭ с большими индексами оста-ется...

Общие Свойства Ядер Интеграла Столкновений Нелинейного Уравнения Больцмана

“…Если учесть, что величина относительной скорости не меняется при взаимодействии, то это равенство очевидно из (8). Используя (8) по аналогии с выводом свойства (19), найдем, что…”

“…Отметим, что связи (49) могут быть получены и с помощью соотношений между матричными элементами интеграла столкновений в случае частиц разных масс. Эти соотношения приведены в [8]. Используя представление ядер через матричные элементы, соотношения между матричными элементами и рекуррентные соотношения между полиномами Сонина можно получить (49).…”

“…При этом расчет интеграла столкновений сводится к алгебраическим операциям с числовыми константамиматричными элементами интеграла столкновений. Было установлено [4,5], что между матричными элементами существуют связи, которые позволяют последовательно находить их с помощью рекуррентной процедуры [6][7][8][9].…”