Решеточная Определяемость Некоторых Матричных Колец

Abstract

Пусть $R=M_n(K)$ - кольцо квадратных матриц порядка $n\geqslant 2$ над кольцом $K= \mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$, где $p$ - простое число, $k\in\mathbb{N}$. Пусть $R'$ - произвольное ассоциативное кольцо. Доказано, что решетки подколец колец $R$ и $R'$ изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны сами кольца $R$ и $R'$. Иными словами, доказана решеточная определяемость кольца матриц $M_n(K)$ в классе всех ассоциативных колец. Доказана также решеточная определяемость кольца, разложимого в прямую (кольцевую) сумму матричных колец. Полученные результаты важны для изучения решеточных изоморфизмов конечных колец. Библиография: 13 названий.