Стандартный Базис Полиномиального Идеала Над Коммутативным Артиновым Цепным Кольцом

Abstract

Дискретная математика том 16 ВЫПУСК 1 * 2004 УДК 512.8 Стандартный базис полиномиального идеала над коммутативным артиновым цепным кольцом © 2004 г. Е. В. Горбатов Строится стандартный базис идеала кольца полиномов R[X] = R[x\,... ,JC*] над коммутативным артиновым цепным кольцом R, обобщающий понятие базиса Гребнера полиномиального идеала над полем. При этом используется предложенное в работах Д. А. Михайлова и А. А. Нечаева понятие старшего члена полинома, учитывающее специфику кольца R; в отличие от этих работ, предлагаемые конструкции основыва ются на понятии схемы симплификации, предложенной В. Н. Латышевым. Доказано, что всякая каноническая система образующих (КСО), построенная в работах Д. А. Ми хайлова и А. А. Нечаева, является стандартным базисом специального вида. Введено понятие 5-полинома и на его основе построен алгоритм, находящий стандартный базис идеала и КСО идеала. Определяются минимальный и редуцированный стандартные базисы, приводятся характеризующие их условия. Доказано, что при естественном эпиморфизме v: R[X]-> R[X], где R = R/ rad(i?), базис Гребнера х полиномиально го идеала над полем вычетов R поднимается до стандартного базиса той же мощности в R[X] тогда и только тогда, когда идеал (х) является образом некоторого идеала / < R[X], являющегося свободным R-модулем. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант 02-01-00218, и грантом НШ-1910.2003.1 Президента РФ для поддержки ведущих на учных школ.