Топологические Методы В Комбинаторной Геометрии

Abstract

Обзор посвящен некоторым результатам в области комбинаторной и выпуклой геометрии, начиная с классических теорем и вплоть до последних современных результатов. В основном рассматриваются те результаты, в доказательстве которых существенно применяются методы алгебраической топологии. Подробно освещаются разные обобщения теоремы Борсука-Улама для (Zp) k-действия, применения к задаче Кнастера об уровнях функции на сфере, обсуждаются приложения к теории Люстерника-Шнирельмана оценки количества критических точек гладкой функции. Дается обзор топологических методов в оценках хроматического числа графов и гиперграфов, в теоремах типа Тверберга и ван Кампена-Флореса. Приводятся описания результатов автора по "двойственным" аналогам теорем о центральной точке и Тверберга. Рассматриваются результаты о существовании вписанных и описанных многогранников специального вида для выпуклых тел, о существовании бильярдных траекторий в выпуклом теле. Приводятся результаты о делении мер гиперплоскостями и другими разбиениями евклидова пространства. Дается краткий обзор топологических подходов к теоремам типа Хелли, связанных с рассмотрением нерва семейств выпуклых множеств в евклидовом пространстве. Приводится обзор по теоремам типа Хелли для плоских трансверсалей, подробно рассматриваются результаты, использующие топологию многообразия Грассмана и канонического расслоения над ним.