Точные Асимптотики Вероятностей Больших Уклонений Для Цепей Маркова: Метод Лапласа

Abstract

Доказаны результаты о точных асимптотиках при n → ∞ для средних Ea exp −θ n−1 k=0 g(X k) и вероятностей Pa 1 n n−1 k=0 g(X k) < d , где Xn = X0 + n k=1 ξ k , n 1,-соответствующее случайное блуждание на R, {ξ k } ∞ k=1-последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих распределение Лапласа, g(x)-непрерывная положительная функция, удовлетворяющая некоторым условиям, и d > 0, θ > 0, a ∈ R-заданные числа. Результаты получены на основе развитого в статье нового метода-метода Лапласа для времени пребывания марковских цепей с дискретным временем. В качестве функции g(x) можно брать функции |x| p , log(|x| p + 1), p > 0, |x| log(|x| + 1), e α|x| − 1, 0 < α < 1/2, x ∈ R, и другие. Подробно рассмотрен пример с функцией g(x) = |x|, в котором проведены явные вычисления с привлечением функций Бесселя. Библиография: 44 наименования.