Чебышeвские множества, составленные из объединения подпространств в несимметрично нормированных пространствах

Abstract

Множество называется чебышeвским, если оно есть множество существования и единственности, т. е. любая точка имеет во множестве единственную ближайшую точку. Изучаются свойства чебышeвских множеств, представляющих собой конечное или бесконечное объединение плоскостей, т. е. замкнутых аффинных подпространств, возможно, вырожденных в точки. Показано, что конечное объединение плоскостей является чебышeвским множеством, если и только если это объединение является чебышeвской плоскостью. При некоторых условиях на пространство или на множество показано, что счетное объединение плоскостей никогда не является чебышeвским множеством. Как следствие, дается следующий частичный ответ на известную проблему Ефимова-Стечкина-Кли о выпуклости чебышeвских множеств: в гильбертовом пространстве не более, чем счетное объединение плоскостей является чебышeвским множеством, если и только если это объединение само является чебышeвской плоскостью. Результаты получены, как в случае обычных линейных нормированных пространств, так и для пространств с несимметричной нормой. Библиография: 33 наименования.