Численный Бифуркационный Анализ Математических Моделей С Запаздыванием По Времени С Использованием Пакета Программ DDE-BIFTOOL

Abstract

Abstract. Mathematical modelling with delay differential equations (DDEs) is widely used for analysis and predictions in various areas of the life sciences, e.g., population dynamics, epidemiology, immunology, physiology, neural networks. The time delays in these models take into account a dependence of the present state of the modelled system on its past history. The delay can be related to the duration of certain hidden processes like the stages of the life cycle, the time between infection of a cell and the production of new viruses, the duration of the infectious period, the immune period and so on. Due to an infinite-dimensional nature of DDEs, analytical studies of the corresponding mathematical models can only give limited results. Therefore, a numerical analysis is the major way to achieve both a qualitative and quantitative understanding of the model dynamics. A bifurcation analysis of a dynamical system is used to understand how solutions and their stability change as the parameters in the system vary. The package DDE-BIFTOOL is the first general-purpose package for bifurcation analysis of DDEs. This package can be used to compute and analyze the local stability of steady-state (equilibria) and periodic solutions of a given system as well as to study the dependence of these solutions on system parameters via continuation. Further one can compute and continue several local and global bifurcations: fold and Hopf bifurcations of steady states; folds, period doublings and torus bifurcations of periodic orbits; and connecting orbits between equilibria. In this paper we describe the structure of DDE-BIFTOOL, numerical methods implemented in the package and we illustrate the use of the package using a certain DDE system.

Application of M-Matrices for the Study of Mathematical Models of Living Systems

“…входящие в уравнения (35), (36), а также интегральные соотношения (39)-(41) представляют собой новые элементы в моделях динамики ВИЧ-1 инфекции по сравнению с моделями из работ [18,19,20]. Отметим, что уравнения (39)-(41) можно рассматривать как вспомогательные и использовать их для учета баланса численности клеток и вирусных частиц.…”

“…Среди них можно выделить следующие: 1) анализ устойчивости положений равновесия дифференциальных уравнений с несколькими или распределенными запаздываниями; 2) поиск условий существования колебательных решений высокоразмерных систем дифференциальных уравнений; 3) нахождение нижних и верхних оценок решений дифференциальных уравнений; 4) исследование чувствительности функционалов от решений моделей к вариации их параметров; 5) численное исследование решений дифференциальных уравнений, в том числе -уравнений с запаздыванием. Примеры успешного решения перечисленных задач приведены в работах [23,30,31,32,33,34,35].…”