Systems of nonlinear equations often arise when modeling processes of different nature. These can be both independent problems describing physical processes and also problems arising at the intermediate stage of solving more complex mathematical problems. Usually, these are high-order tasks with the big count of un-knows, that better take into account the local features of the process or the things that are modeled. In addition, more accurate discrete models allow for more accurate solutions. Usually, the matrices of such problems have a sparse structure. Often the structure of sparse matrices is one of next: band, profile, block-diagonal with bordering, etc. In many cases, the matrices of the discrete problems are symmetric and positively defined or half-defined. The solution of systems of nonlinear equations is performed mainly by iterative methods based on the Newton method, which has a high convergence rate (quadratic) near the solution, provided that the initial approximation lies in the area of gravity of the solution. In this case, the method requires, at each iteration, to calculates the Jacobi matrix and to further solving systems of linear algebraic equations. As a consequence, the complexity of one iteration is. Using the parallel computations in the step of the solving of systems of linear algebraic equations greatly accelerates the process of finding the solution of systems of nonlinear equations. In the paper, a new method for solving systems of nonlinear high-order equations with the Jacobi block matrix is proposed. The basis of the new method is to combine the classical algorithm of the Newton method with an efficient small-tile algorithm for solving systems of linear equations with sparse matrices. The times of solving the systems of nonlinear equations of different orders on the nodes of the SKIT supercomputer are given.

В роботі розглядаються алгоритми методів розв'язання систем нелінійних рівнянь (СНР) і задач Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР) для багатоядерних комп'ютерів з процесорами Intel Xeon Phi. Наведено часи розв'язування СНУ і СЗДР різних порядків, обраховані коефіцієнти прискорення і ефективності використання запропонованих методів. Ключові слова: багатоядерні комп'ютери, системи нелінійних рівнянь, задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь. В работе рассматриваются алгоритмы методов решения систем нелинейных уравнений (СНУ) и задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) для многоядерных компьютеров с процессорами Intel Xeon Phi. Приведены времена решения СНУ и СОДУ разных порядков, вычислены коэффициенты ускорения и эффективности использования предложенных методов. Ключевые слова: многоядерные компьютеры, системы нелинейных уравнений, задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. The paper deals with algorithms of methods for the solving both of non-linear systems (NLS) and initial-value problems for systems of ordinary differential equations (SODE) on multi-core computers. Times required for the solving of various order SNE and SODE are given; acceleration and performance coefficients characterizing the employment of methods being proposed are evaluated, as well.

The paper is devoted to the methods of geometric modeling of plane curves given in the natural parameterization. The paper considers numerical modeling methods that make it possible to find the equation of curvature of the desired curve for different cases of the input data. The unknown curvature distribution coefficients of the required curve are determined by solving a system of nonlinear integral equations. Various numerical methods are considered to solve this nonlinear system. The results of computer implementation of the proposed methods for modeling two curvilinear contours with different initial data are presented. For the first curve, the input data are the coordinates of three points, the angles of inclination of the tangents at the extreme points and the linear law of curvature distribution. The second example considers an S-shaped curve with a quadratic law of curvature distributi.

А. Н. Нестеренко, О. В. Попов, канд. фіз.-мат. наук, О. В. Рудич Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, м. Київ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ НА КОМП'ЮТЕРАХ З ПАРАЛЕЛЬНОЮ ОРГАНІЗАЦІЄЮ ОБЧИСЛЕНЬ Запропоновано методологію розв'язування систем нелінійних рівнянь з розрідженими матрицями Якобі на комп'ютерах з паралельною організацією обчислень, яка використовує багаторівневу модель паралельних обчислень, структурну регуляризацію та декомпозицію розріджених даних для приведення матриці системи до блочно-розрідженого вигляду, високопродуктивні блочні та блочно-циклічні алгоритми розв'язування систем лінійних рівнянь. Ключові слова: системи нелінійних рівнянь, розріджені матриці Якобі, комп'ютери MIMD-архітектури, комп'ютери гібридної архітектури, структурна регуляризація розріджених даних, декомпозиція розріджених даних. Вступ. При чисельному моделюванні природних явищ, поведінки об'єктів під впливом дії навколишнього середовища, проектуванні будівель та механізмів часто виникають, наприклад, при використанні тривимірних моделей, розрахункові (дискретні) задачі з надвеликою кількістю (яка може перевищувати 10 7) рівнянь, у тому числі нелінійних. Причому дані (матриці Якобі) таких нелінійних систем (СНР) мають розріджену структуру, наприклад, блочно-тридіагональну або блочно-п'ятидіагональну. Тобто кількість ненульових елементів значно менша (приблизно дорівнює kn, де n-порядок матриці, а k << n) загальної кількості елементів матриці. Зростання параметрів задач, що розв'язуються, розрахунок на комп'ютерах більш повних моделей об'єктів, процесів, явищ вимагає відповідного зростання продуктивності комп'ютерів. В даний час зростання продуктивності обчислень досягається за рахунок розпаралелювання, яке базується на використанні комп'ютерів з багатьма процесорними пристроями, зокрема з багатоядерними процесорами. В цих комп'ютерах, як правило, реалізується MIMD-архітектура (архітектура з множинним потоком команд і даних). В останні роки також набули поширення гібридні обчислювальні системи, в яких використовуються співпроцесори, наприклад, графічні процесори (GPU), для прискорення