Гл. 1. Интерполяция и пространства Хермандера ли пространства X 0 , X 1 сепарабельны и справедливо непрерывное плотное вложение X 1 ֒→ X 0 .Пусть задана допустимая пара X = [X 0 , X 1 ] гильбертовых пространств. Как известно [41, c. 22; 116, c. 251], для X суще-ствует такой изометрический изоморфизм J : X 1 ↔ X 0 , что J является самосопряженным положительно определенным опера-тором в пространстве X 0 с областью определения X 1 . Оператор J называется порождающим для пары X. Этот оператор определя-ется парой X однозначно. В самом деле, пусть оператор J 1 также порождающий для пары X. Тогда операторы J и J 1 метрически равны: Ju X 0 = u X 1 = J 1 u X 0 для любого u ∈ X 1 . Кроме того, эти операторы положительно определены. Отсюда следует, что они равны:плотное линейное многообразие в пространстве X 0 . Интерполяция с функциональным параметром 23Замечание 1.1. Пусть функции ϕ, ψ ∈ B такие, что ϕ ≍ ψ в окрестности ∞. Тогда в силу определения множества B справед-ливо ϕ ≍ ψ на Spec J. Следовательно, X ϕ = X ψ с точностью до эквивалентности норм. (Как обычно, выражение ϕ ≍ ψ означа-ет, что обе функции ϕ/ψ и ψ/ϕ ограничены на соответствующем множестве; при этом функции ϕ и ψ предполагаются положитель-ными.)Иначе говоря, параметр ψ интерполяционный тогда и только тогда, когда отображение X → X ψ является интерполяционным функтором, заданным на категории допустимых пар X гильбер-товых пространств [9, с. 41; 112, c. 18]. Если параметр ψ интер-поляционный, то будем говорить, что пространство X ψ получе-но интерполяцией с функциональным параметром ψ допустимой пары X.Далее мы исследуем основные свойства отображения X → X ψ . Вложения пространствИзучим некоторые свойства интерполяции, связанные с вло-жениями пространств.допустимая пара гильбертовых пространств. Тогда верны непрерывные плотные вложения X 1 ֒→ X ψ ֒→ X 0 .Доказательство. В силу сказанного выше осталось дока-зать существование непрерывного плотного вложения X 1 ֒→ X ψ . 24 Гл. 1. Интерполяция и пространства ХермандераРассмотрим ограниченные операторы вложения I : X 1 → X 0 и I : X 1 → X 1 . Поскольку параметр ψ интерполяционный, они вле-кут ограниченность оператора вложения I : X 1 → X ψ , т. е. непре-рывность вложения X 1 ֒→ X ψ .Докажем его плотность. Возьмем произвольное u ∈ X ψ . То-Остается заметить, чтоТеорема 1.1 доказана.Теорема 1.2. Пусть функции ψ, χ ∈ B такие, что функция ψ/χ ограничена в окрестности ∞. Тогда для каждой допусти-мой пары X = [X 0 , X 1 ] гильбертовых пространств справедли-во непрерывное и плотное вложение X χ ֒→ X ψ . Если вложение X 1 ֒→ X 0 компактно и ψ(t)/χ(t) → 0 при t → ∞, то вложение X χ ֒→ X ψ также компактно.Доказательство. Пусть J порождающий оператор для па-ры X. Заметим, что Spec J ⊆ [r, ∞) для некоторого числа r > 0. По условию ψ(t)/χ(t) ≤ c при t ≥ r, следовательно,Отсюда на основании определения пространств X χ и X ψ получаем непрерывность вложения X χ ֒→ X ψ . Докажем его плотность. Рассмотрим изометрические изоморфизмы ψ(J) :Тем самым доказана плотность вложения X χ ֒→ X ψ . Предположим теперь, что вложениеПусть E t ,...
We study improved scales of functional Hilbert spaces over R n and smooth manifolds with boundary. The isotropic Hörmander-Volevich-Paneyakh spaces are elements of these scales. The theory of elliptic boundary-value problems in these spaces is developed.
We study improved scales of functional Hilbert spaces over R n and smooth manifolds with boundary. The isotropic Hörmander-Volevich-Paneyakh spaces are elements of these scales. The theory of elliptic boundary-value problems in these spaces is developed.
Abstract. We explicitly describe all Hilbert function spaces that are interpolation spaces with respect to a given couple of Sobolev inner product spaces considered over R n or a halfspace in R n or a bounded Euclidean domain with Lipschitz boundary. We prove that these interpolation spaces form a subclass of isotropic Hörmander spaces. They are parametrized with a radial function parameter which is OR-varying at +∞ and satisfies some additional conditions. We give explicit examples of intermediate but not interpolation spaces.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
customersupport@researchsolutions.com
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.