Capítulo 1 Expansiones de topologíasEn este primer capítulo, se introduce el concepto de expansión simple (también conocido como extensión simple) de una topología, junto con sus principales resultados. La mayoría de los teoremas están relacionados con la preservación de determinadas propiedades topológicas bajo expansiones simples; entre dichas propiedades se encuentran los axiomas de separación, la compacidad y la conexidad. Expansiones simples GeneralidadesDefinición 1.1.1. Sean (X, τ ) un espacio topológico y A un subconjunto arbitrario de X. Sea τ (A) la topología generada por la subbase τ ∪ {A}. La nueva topología τ (A) se llama expansión simple de τ por medio de A.Cuando no haya lugar a confusión, τ (A) será denotada por τ * ; asimismo, los operadores como int τ (A) y cl τ (A) , obedecerán la notación int τ * , cl τ * , o bien, int * , cl * , etcétera.Comenzamos con un resultado de carácter técnico, que caracteriza los operadores de interior y cerradura en (X, τ (A)), así como las correspondientes topologías relativas a A y su complemento. Teorema 1.1.2. Sean (X, τ ) un espacio topológico, A ⊂ X, y τ * la expansión simple de τ por medio de A. Para cualquier B ⊂ X:(a) int τ * (B) = int τ (B) ∪ int τ A (B ∩ A)