Structure galoisienne relative de la racine carrée de la codifférente d'extensions métacycliques non abéliennes par Angelo Iadarola et Bouchaïb Sodaïgui (Valenciennes) 1. Introduction. Dans tout cet article, si K est un corps de nombres, O K désigne son anneau d'entiers et Cl(K) son groupe des classes. Si I est un idéal fractionnaire de K, on note cl K (I) sa classe dans Cl(K), ou simplement cl(I) si aucune confusion n'est possible. Soient k un corps de nombres et Γ un groupe fini. Soient M un O k -ordre maximal dans l'algèbre semi-simple k[Γ ] contenant O k [Γ ] ; parfois, pour plus de précision, on le notera M(k[Γ ]). Soit Cl(O k [Γ ]) (resp. Cl(M)) le groupe des classes des O k [Γ ]-modules (resp. M-modules) localement libres (voir [8, Chap. I]). Soit M un O k [Γ ]-module localement libre. On peut associer à M une classe, notée [M ], dans Cl(O k [Γ ]), et par extension des scalaires la classe de M ⊗ O k [Γ ] M , notée [M ⊗ O k [Γ ] M ], dans Cl(M).Soit N/k une extension galoisienne à groupe de Galois isomorphe à Γ ; parfois on dira simplement que N/k est une Γ -extension. Soit π un isomorphisme défini sur Gal(N/k) et à valeurs dans Γ . Pour tout γ ∈ Γ , nous noterons π −1 (γ) ∈ Gal(N/k) simplement par γ.Soit D N/k la différente de N/k. Supposons que la racine carrée de la codifférente D −1 N/k existe et notons-la A N/k . Immédiatement A N/k est un idéal fractionnaire ambige de l'extension N/k (i.e., stable par les éléments de Gal(N/k) ; donc c'est un Γ -module).Signalons que, par la formule de Hilbert (voir [16, Proposition 4, p. 72]), lorsque N/k est modérément ramifiée, A N/k existe si, et seulement si, les indices de ramification dans N/k sont impairs ; c'est le cas, par exemple, lorsque Γ est d'ordre impair.