In der Dualitätstheorie von Moduln spielen zwei Funktionen eine wichtige Rolle. Die erste Funktion ordnet jedem Modul E seinen dualen Rechts-Modul E* = Hom^ (E, R) zu, die zweite Funktion jedem Untermodul M von E seinen Annullator M° in E*. Für beliebige Ringe R ist diese Dualität zuweilen nicht befriedigend, weil selbst dann, wenn die ersten Behauptungen der Sätze 5, 8 und 10 von § 2 dieser Arbeit noch gültig sind, die zweiten Behauptungen dieser Sätze, sowie die Sätze 2, 6, 7 und 9 nicht zu gelten brauchen. In dieser Arbeit wird E* als Hom E (E, Q) definiert, wobei Q ein Modul ist, der die in Satz l dieser Arbeit erwähnte Eigenschaft besitzt. Es zeigt sich, daß die Gültigkeit der Sätze 2 bis 10 und diese Eigenschaft von Q gleichwertig sind. Darüber hinaus ist ersichtlich, daß eine vollständige Dualität zwischen E und E* nicht bestehen kann. Hiermit wird Kaplanskys Ansicht [1] S. 79 bestätigt. § 2. Satz 1. Es existiert ein Modul Q mit folgender Eigenschaft: Ist E ein Modul, M ein Untermodul von E und g ein Element aus E, das M nicht angehört, so läßt sich jeder Homomorphismus a: M -> Q zu einem Homomorphismus ß:E^Q mit (g) erweitern.Beweis. Ein Modul Q mit der gewünschten Eigenschaft wird folgendermaßen konstruiert 2 ). Man bilde die direkte Summe Rjl über alle in R echt enthaltene Links-Ideale / und bette den so gewonnenen Modul in einen injektiven Modul Q ein.Es sei N der von M und g erzeugte Modul. Zunächst wird ein Homomorphismus : 7V -> Q konstruiert, der eine Erweiterung von oc darstellt und für welchen (g) 0 gilt.Es sei / das Ideal aller r € R mit r g £ M. Die Zuordnung r-xx(rg), r€ / ist ein Homomorphismus : /-> Q. Da Q injektiv ist, existiert ein s€ Q mit (r) = r s für jedes r /. Man kann ein s 0 wählen. Denn ist (r) 0 für ein r € /, so ist s 0. Ist aber ( ) -0 für jedes r € /, so wähle man für s die Restklasse (1) € #//, die das Einselement von R enthält. Es ist (1) 0, da sonst g £ M wäre, und es gilt r s = (r) = der Restklasse, die r enthält = 0 = (r) . Man halte dieses s fest und setze für jedes y = -f r g N, x£ M und r € R, *(x) + rs. 1 ) Wenn nichts anderes gesagt ist, sind alle Moduln und Homomorphismen Links-Moduln bzw. Links-Homomorphismen über einem festen Ring R mit Einselement l 0. Große lateinische Buchstaben bezeichnen Moduln, auch wenn es nicht immer ausdrücklich angegeben ist.
