For each α ≥ 0, let Bα be the universal C*-algebra generated by unitary elements uα, vα and a self-adjoint hα such that ||hα|| ≤ α and [Formula: see text]. In this work we prove that the family {Bα}α ∈ [0,∞[ extend the family of soft torus with the same basic properties, i.e., the field of C*-algebras {Bα}α ∈ [0,α0] is continuous and each Bα is a crossed product of a C*-algebra homotopically equivalent to C(S1) by Z. We then show that the K-groups of Bα are isomorphic to Z ⊕ Z. Applying results from the theory of rotation algebras we prove that every positive element (n,m) in K0(Bα) satisfies |m|α ≤ 2πn. It follows that these C*-algebras are not all homotopically equivalent to each other, although they have the same K-groups.

Se a e t&v/õ cóernerlto au ( -adjunto de uma (:'-áZgeóra .A, Note que, se ll . lli e ll . ll2 são duas C'-normas completas sobre uma +-álgebra .4, então l}.ll? -ll.*.ll--,(.) ja '.ll, = 11.11:, v. € ..4 Portanto, existe no máximo uma C'-norma completa sobre uma +-álgebra. Sejam .4 +-álgebra de Banach e B uma O''-álgebra. Suponha que p : ..4 --, .B é um +-homomorfismo. Então p é norma-decrescente, isto é, llp(a)ll $ 11all, qualquer que sda a C .4. De fato, como aB(p(a)) C a..i(a), temos llp(.)ll' llp(«) 'p(.) ll ,(p(''')) $ ,(a'a) ll.'.ll ll.ll', para todo a C .4. Segue que, se .4 e uma C''-álgebra e p é injetivo, então p é uma isometria. Sejam .4 e .B C'-álgebras. A soma dáreta de .A com .B, que denotamos por .A © -B, é o conjunto .4 x B com as operações algébricas e involução definidas coordenada a coordenada e com norma dada por 11(", b)llm«'lll'll, llz,ll},(i.2) quaisquer que sejam a € .4 e b C .B. Como 11(., z,) ll' (m«'lll'll,llóllly ll.ll',llóll'} ll.*.ll,llÓ'z,ll} ll(a'',b'Z,)ll ll(a*,õ')(',ó)ll(a,b)'(a,ó)ll, segue que ..4 © B é uma C'-álgebra. E fácil ver que a norma definida em (1.2) é uma a'norma completa, e que a soma direta de C'-álgebras pode ser naturalmente generalizada para uma quantidade finita de (;*-álgebras. Dada uma C'-álgebra .A com ou sem unidade, podemos construir uma outra (;'-álgebra com unidade que contém .4 como ideal. Descreveremos a seguir os passos dessa construção. Considere o conjunto .4 = {(a, a) : a C ..4, a € C}. Defina adição e multiplicação por escalar coordenada a coordenada em ..4 e defina produto através de (a, a) ' (b, P) ('b+P.+ aZ,, aa) e adjunto por ',a)' -(.',a), 6