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A modelagem matemáticaé uma ferramenta fundamental para análise, interpretação e descrição de fenômenos que acontecem na natureza. O estudo das epidemias, por exemplo,é feito através de modelos compartimentais, muitas vezes baseados em equações diferenciais, onde há uma análise dos aspectos epidemiológicos que facilitam a compreensão da dinâmica de epidemias em populações. Doenças como a Peste Bubônica, Gripe Espanhola e Malária, com altas taxas de mortalidade e morbilidade, dizimaram populações, limitando o crescimento demográfico e tornando-se um enorme problema de saúde pública.O modelo SIRé uma das várias ferramentas matemáticas para a análise quantitativa e qualitativa das epidemias. Ele foi proposto por Kermack e McKendrick, em 1927, e sugere a divisão de uma população em três classes: suscetíveis, infectados e recuperados. Tal modeloé baseado em um sistema de equações diferenciais que representam a variação temporal destas classes.Neste trabalho tal modelo será utilizado em uma população variante no tempo onde há co-circulação de duas epidemias com variantes hipotéticos. Será abordada também a chamada imunidade cruzada, qué e a possibilidade de um organismo, já infectado com uma das variantes, adquirir certa resistência a outra. Admitindo, por simplicidade, que não há contaminação simultânea das duas variantes por um indivíduo, as equações que descrevem o modelo SIR (Castillo-Chavez,1989) nesta situação são:Cada equação representa uma fração de classe da população, e denotando as epidemias como sendo causadas pelas variantes 1 ou 2, têm-se que X(t) representa os suscetíveis a ambas as doenças; Y(t) representa os infectados pela variante i e ainda suscetíveisé variante j; Z(t) representa os recuperados * bolsista de Iniciacão Científica PIBIC/CNPq

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RESUMO IntroduçãoEntre as diversas aplicações da modelagem matemática enquadram-se os estudos de modelos epidemiológicos que são importantes de serem estudados em função do grande impacto que tiveram na evolução da ciência, apresentando altas taxas de mortalidade humana. Por exemplo, na Peste Negra, uma pandemia de peste bubônica que assolou a Europa no século XIV, estima-se que morreram aproximadamente 70 milhões de pessoas. Estudos epidemiológicos se mostram necessários eúteis para a elaboração de medidas de precaução e políticas de saneamento. A modelagem epidemiológica se destaca como uma poderosa ferramenta de estudo e análise de tais epidemias e apresenta uma ampla variedade de técnicas que podem ser aplicadas tanto a casos gerais quanto a casos específicos.Dentre os modelos mais usados em epidemiologia, destaca-se o pioneiro SIR, que foi proposto por Kermack e McKendrick em 1927. A construção do modelo baseou-se na divisão de uma população, considerada constante, em três classes: suscetíveis, infectados e removidos. A partir dessa linha, Kermack e McKendrick formularam o sistema de equações característico desse modelo e criaram o Teorema do Limiar, um marco na análise das epidemias que até hoje serve como forte aparato para a dedução de novos modelos.Por outro lado, o modelo SIRSé uma variação do modelo SIR que considera a situação em que a população dos removidos perde sua imunidade e volta a ser considerado suscetível, após certo tempo (Oliveira, 2008). Apresenta um caráter mais dinâmico e representa de maneira mais fiel o comportamento de uma epidemia. Neste trabalho, o modelo SIRS será aplicadoà uma epidemia da Influenza A(H1N1), doença que chamou a atenção mundial por ser uma das primeiras pandemias do século XXI, matando milhares de pessoas pelo mundo e infectando um número ainda maior.