O modelo estático de Einstein foi o primeiro modelo cosmológico relativista. O modelo é estático, finito e de simetria espacial esférica. Utilizo a solução das equações de campo de Einstein, em um universo homogêneo e isotrópico -a equação de Friedmann -, para calcular o raio de curvatura deste modelo, denominado universo de Einstein. Mostro, também, utilizando uma analogia newtoniana, a sua mais conhecida característica, qual seja, a instabilidade sob pequenas perturbações do estado de equilíbrio.

As representações gráficas dos modelos clássicos de Friedmann frequentemente induzem ao erro, na discussão das idades dos universos-modelo. A maioria dos livros ignora as diferenças conceituais das representações no que diz respeito a estas idades. Discutimos os detalhes das funções que fornecem o fator de escala em termos do tempo, para as soluções da equação de Friedmann, na faixa de tempo que inclui as idades dos universos-modelo. Palavras-chave: cosmologia, equação de Friedmann, modelos cosmológicos.Graphical representations of classical Friedmann's models are often misleading when one considers the age of the universe. Most textbooks disregard conceptual differences in the representations, as far as ages are concerned. We discuss the details of the scale-factor versus time function for Friedmann's solutions in the time range that includes the ages of model universes. Keywords: cosmology, Friedmann equation, cosmological models. IntroduçãoOs modelos padrão da cosmologia moderna são descritos por modelos de Friedmann modificados pela inclusão de uma constante cosmológica (veja as seções IV e V da Ref.[1] para uma discussão qualitativa sobre a constante cosmológica e a Ref. [2, p. 403 O Princípio Cosmológico afirma, basicamente, que toda a matéria do universo está distribuída de forma uniforme em todas as direções. Para a construção dos modelos cosmológicos desprezamos o fato de que a matéria se concentra em estrelas, as estrelas se estruturam em galáxias, e assim por diante, em estruturas cada vez maiores. "Alisamos" tudo, inventamos o "fluido cósmico", que se distribui de forma homogênea e isotrópica no universo. A densidade de matéria e energia deste fluido hipotético coincide com a densidade real das estrelas, galáxias e aglomerados.Assim como o espaço-tempoé curvo no exterior de uma concentração de massa, uma distribuição contínua de matéria também pode ser descrita por um espaço-tempo curvo, o qual se estende eé gerado pelo fluido cósmico. O modelo padrão da cosmologia adota esta perspectiva simplificadora ao utilizar a TRG em sua construção. As soluções de Friedmann descrevem portanto espaços-tempos curvos.Os

A classification scheme for close pairs of galaxies is proposed. The scheme is motivated by the fact that the majority of apparent close pairs are in fact wide pairs in three-dimensional space. This is demonstrated by means of numerical simulations of random samples of binary galaxies and the scrutiny of the resulting projected and spatial separation distributions.Observational strategies for classifying close pairs according to the scheme are suggested. As a result, physical (i.e., bound and spatially) close pairs are identified.

Apresento, abreviadamente, os fundamentos da cosmologia relativista, quais sejam, a teoria da relatividade geral e o princípio cosmológico. Discuto alguns modelos relativistas, a saber, o "universo estático de Einstein" e os "universos de Friedmann". As referências bibliográficas clássicas para as demonstrações tensoriais relevantes são indicadas sempre que necessárias, embora os cálculos em si não sejam apresentados. Palavras-chave: teoria da relatividade geral, cosmologia, modelos de Friedmann, modelo de Einstein.I briefly present the foundations of relativistic cosmology, general relativity theory and the cosmological principle. I discuss some relativistic models, namely, "Einstein static universe" and "Friedmann universes". The classical bibliographic references for the relevant tensorial demonstrations are indicated whenever necessary, although the calculations themselves are not shown. Keywords: general relativity theory, cosmology, Friedmann models, Einstein model. IntroduçãoO princípio cosmológico (PC) -a homogeneidade e isotropia do universo -e a teoria da relatividade geral (TRG) constituem os fundamentos físicos e matemáticos da cosmologia relativista. Resumindo tudo o que será apresentado a seguir, podemos dizer que as simetrias introduzidas pelo PC fazem com que as equações de campo completas de Einstein da TRG se reduzam a duas simples equações diferenciais para o fator de escala -ou de expansão -do universo [1, p. 260]. A partir destas duas equações os modelos cosmológicos relativistas mais populares podem ser construídos.As equações de campo de Einstein da TRG representam uma descrição matemática de uma entidade geométrica, o espaço-tempo, definido por três coordenadas espaciais e uma temporal. Esta entidade de 4 dimensõesé estabelecida pelo conteúdo de energia e matéria existentes. Do lado esquerdo das equações temos a descrição geométrica do espaço-tempo e do lado direito, o conteúdo de energia e momento. Colocado de outra forma, a TRGé a teoria da gravitação de Einstein. Ela pode ser entendida simplificadamente pela afirmação de que "o espaço-tempo dizà matéria como se mover e a matéria diz ao espaço-tempo como se curvar" [2, p. 275]. Estaé obviamente uma afirmação incompleta pois não só a matéria curva o espaço-tempo mas também toda forma de energia [3, p. 229].Einstein utiliza o formalismo tensorial para expressar as suas equações de campo, sendo assim, a TRǴ e uma teoria tensorial. A propósito, o matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) foi um dos principais responsáveis pelo desenvolvimento do cálculo tensorial, tendo importância enorme para a formulação da TRG. Mas, o queé um tensor? Um tensoré uma entidade matemática que possui em cada ponto do espaço n m componentes, onde né o número de dimensões do espaço e mé a ordem do tensor. Desta forma, podemos dizer que o escalaré um tensor de ordem 0 -portanto, tem 1 componente -e o vetoré um tensor de ordem 1 -tem n componentes [3, p. 200]. Os tensores utilizados na TRG são tensores de ordem m = 0, 1 e 2 e o "espaço"é o es...

Proponho um análogo mecânico unidimensional simples dos modelos de universo tridimensionais da cosmologia relativista moderna. O objetivo principal da proposta é a apreciação apropriada da relação intrínseca entre a lei da Hubble e a homogeneidade dos modelos relativistas em expansão.