No abstract

No abstract

In einem fanoschen euklidischen Raum mit der Punktmenge P und der Geradenmenge G (vgl. [3]) heigen zwei Geraden orthogonal, wenn sie sich schneiden und wenn sie orthogonale Richtungsvektoren besitzen. Eine Permutation yon G heiBt orthooonalitdtstreu, wenn sie orthogonale Geraden in orthogonale Geraden/iberf/ihrt. W/ihrend man im ebenen Fall leicht orthogonalit/itstreue Permutationen von G angeben kann, die alles andere als Kollineationen sindman betrachte z.B. im ~2 diejenige Zuordnung, die die Geraden der Form (x,x) + •(1,0), (x,x) + ~(0, 1) ffir x~ R vertauscht und die alle iibrigen Geraden festl/if3t -liegt bei h6heren Dimensionen eine genau beschreibbare Situation vor.Wir werden zeigen, dab die orthogonalit/itstreuen Permutationen von G Automorphismen und damit insbesondere Kollineationen des betrachteten euklidischen Raumes sind, wenn dessen Dimension >14 ist. Im Falle der Dimension 3 erweisen sich die orthogonalit~itstreuen Permutationen yon G dagegen als Abbildungen, die man mit Hilfe yon Derivationen des Koordinatenk6rpers und yon Automorphismen des betrachteten euklidischen Raumes darstellen kann und die im allgemeinen keine Kollineationen sind.Ein ~ihnlich 'kontrolliertes' Ergebnis kann sich im ebenen Fall oftensichtlich nicht ergeben, und deshalb wird der ebene Fall im weiteren unberficksichtigt bleiben.Auf dem Wege zur L6sung des Problems stand uns H. Schaeffer in lebhaftem Gespr/ich mit mehreren hilfreichen Vorschl/igen zur Seite, und so bekunden wir ihm an dieser Stelle unseren herzlichen Dank. 1. FORMULIERUNGDERDARSTELLUNGSSATZE Gegeben sei ein Vektorraum V fiber einem kommutativen K6rper ~ mit 3 --< dim V -,< oo und mit char ~ ~ 2. Auf V existiere eine euklidische quadratische Form Q:V ~ IN mit der zugeh6rigen symmetrischen Bilinearform f, d.h. es gelte f(X,X)E~:=~\{O)VX~C~:=V\{O), wobei 0 der Nullvektor yon V ist. Im weiteren schreiben wir X-Y bzw. X 2 bzw. X _1_ Y statt f(X, Y) bzw. f(X, X) bzw. f(X, Y) = 0 ffir X, Y~ V. Zwei Elementeg:= A + KB undh:= C + ~D(A, CE V und B, DE V)der Geometriae Dedicata 21 (1986) 265-276. Qc) 1986 by D. Reidel Publishin 9 Company.

No abstract

No abstract