Quero expressar minha gratidão às seguintes pessoas e instituições:À FAPESP, pelo apoio financeiro; À secretaria de pós-graduação do IMECC-UNICAMP; À minha esposa e meus filhos, pela paciência e incentivo.Aos amigos do IMECC e de fora, que para não cometer injustiça, não vou citar nomes;À banca examinadora, pelas valorosas contribuições.vi ResumoSeja (g, [•, •]) uma álgebra de Lie com uma estrutura complexa integrável J. Os ±iauto-espaços de J são subálgebras complexas de). Consideramos, no capítulo 2, o caso onde estas subálgebras são nilpotentes e mostramos que a álgebra de Lie original (g, [•, •]) é solúvel. Consideramos também o caso 6-dimensional e determinamos explicitamente a única álgebra de Lie possível (g, [ * ] J ). Finalizamos esse capítulo pruduzindo vários exemplos ilustrando diferentes situações, em particular mostramos que para cada s existe g com estrutura complexa J tal que (g, [ * ] J ) é s-passos nilpotente. Exemplos similares para estruturas hipercomplexas são também construidos.No capítulo 3 consideramos o caso onde os ±i-auto-espaços de J são subálgebras complexas solúveis e a álgebra complexa é uma álgebra de Lie semi-simples. Mostramos que, se a álgebra real é compacta, uma tal estrutura complexa depende unicamente de um subespaço da subálgebra de Cartan. Finalizamos esse capítulo considerando o caso em que as subálgebras solúveis complexas estão contidas em subálgebras de Borel de uma órbita aberta da ação dos automorfismos internos da álgebra real. Mostramos que, assim como no caso compacto, as estruturas complexas são determinandas, de modo único, por subespaços da subálgebra de Cartan.Ao final da tese apresentamos um procedimento, elaborado em MAPLE, que possibilita testar a identidade de Jacobi quando os colchetes de Lie são dados pelas constantes de estrutura. vii

No abstract

Let (g, [·, ·]) be a Lie algebra with an integrable complex structure J. The ±i eigenspaces of J are complex subalgebras of g C isomorphic to the algebraWe consider here the case where these subalgebras are nilpotent and prove that the original (g, [·, ·]) Lie algebra must be solvable. We consider also the 6-dimensional case and determine explicitly the possible nilpotent Lie algebras (g, [ * ] J ). Finally we produce several examples illustrating different situations, in particular we show that for each given s there exists g with complex structure J such that (g, [ * ] J ) is s-step nilpotent. Similar examples of hypercomplex structures are also built.