1
Московский государственный технический университет гражданской авиации, г. Москва, РоссияДля обобщенных уравнений Рапопорта -Лиса построена алгебра дифференциальных инвариантов относительно точечных преобразований, то есть преобразований независимых и зависимых переменных. Нахождение общего преобразования такого типа сводится к решению крайне сложного функционального уравнения. Поэтому мы, сле-дуя подходу Софуса Ли, ограничимся поиском инфинитезимальных преобразований, то есть таких, которые по-рождаются сдвигами вдоль траекторий векторных полей. Задача отыскания этих векторных полей сводится к ре-шению переопределенной системы линейных дифференциальных уравнений относительно их коэффициентов. Уравнения Рапопорта -Лиса возникают при изучении процессов нелинейной фильтрации в пористых средах, а также в других областях естествознания: например, эти уравнения описывают различные физические процессы: двухфазную фильтрацию в пористой среде, фильтрацию политропного газа, распространение тепла при ядерном взрыве. Они являются актуальной темой для исследования: в недавних работах Бибикова, Лычагина и других про-веден анализ симметрий обобщенных уравнений Рапопорта -Лиса и найдены его конечномерные динамики и условия существования аттракторов. Поскольку обобщенные уравнения Рапопорта -Лиса представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми пере-менными, для их изучения в работе используются методы геометрической теории дифференциальных уравнений. Согласно этой теории дифференциальные уравнения порождают подмногообразия в пространстве джетов. Это позволяет использовать аппарат современной дифференциальной геометрии для исследования дифференциальных уравнений. Вводится понятие допустимых преобразований, то есть замен переменных, не выводящих уравнения за пределы класса уравнений Рапопорта -Лиса. Такие преобразования образуют группу Ли. Для этой группы Ли находятся дифференциальные инварианты, которые разделяют ее регулярные орбиты, что позволяет классифици-ровать обобщенные уравнения Рапопорта -Лиса.Ключевые слова: джеты, точечные преобразования, дифференциальные инварианты, инвариантные дифференци-рования.
ВВЕДЕНИЕОбобщенные уравнения Рапопорта -Лиса имеют следующий вид [1, 2]:,где , -неизвестная функция, и -функции от переменной , которые мы будем считать бесконечно дифференцируемыми. Эти уравнения описывают различные физические процессы: двухфазную фильтрацию в пористой среде, фильтрацию политропного газа, распро-странение тепла при ядерном взрыве [3].В данной работе построена алгебра дифференциальных инвариантов уравнений (1) отно-сительно точечных преобразований. А именно, среди точечных преобразований выделяются преобразования, сохраняющие класс обобщенных уравнений Рапопорта -Лиса. Такие преобра-зования мы называем допустимыми. Они образуют группу Ли, а ее дифференциальные инварианты являются также и дифференциальными инвариантами обобщенных уравнений Рапопорта -Лиса.В работе [4] проведен анализ симметрий обобщенных уравнений Рапопорта -Лиса, а в раб...
