Let (M n , g) be an n-dimensional compact connected Riemannian manifold with smooth boundary. We show that the presence of a nontrivial conformal gradient vector field on M , with an appropriate control on the Ricci curvature, causes M to be isometric to a hemisphere of S n . We also prove that if an Einstein manifold with boundary admits nonzero conformal gradient vector field, then its scalar curvature is positive and it is isometric to a hemisphere of S n . Furthermore, we prove that if M admits a nontrivial conformal vector field and has constant scalar curvature, then the scalar curvature is positive. Finally, a suitable control on the energy of a conformal vector field implies that M is isometric to a hemisphere S n + .

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O conteúdo Probabilidade dispõe de grande importância para a tomada de decisões em nossa sociedade, pois trata da área da Matemática que estuda as chances de um determinado evento acontecer. O ensino desse assunto nas escolas apresenta-se como um conteúdo a ser trabalhado desde as séries iniciais do ensino fundamental até o ensino médio, sempre aprofundando as noções matemáticas envolvidas a cada etapa de formação do estudante. À vista disto, neste artigo descrevemos, de modo particular, uma pesquisa qualitativa de caráter exploratório e descritivo acerca do ensino de Probabilidade, que teve o intuito de depreender os obstáculos relativos à compreensão desse conteúdo matemático. Desse modo, apresentamos uma breve discussão acerca de pesquisas que retratam o seu ensino e desenvolvemos uma proposta de aprendizagem por meio de uma exploração adequada de um jogo virtual intitulado “Jogo do Máximo”. Além disso, indicamos e estruturamos situações-problema que oportunizam um melhor entendimento do conteúdo e auxiliam os alunos a desvincular esse assunto a apenas uma natureza mecânica algorítmica.