Structures de contact sur les variétés fibrées en cercles audessus d'une surface
Emmanuel GirouxRésumé. Soit V une variété fibrée en cercles au-dessus d'une surface S de genre g > 0 . Cet article fournit, pour les structures de contact sur V , les analogues de résultats bien connus pour les feuilletages dûsà J. Milnor, J. Wood, W. Thurston, S. Matsumoto etÉ. Ghys. Dans la partie 1, on démontre que V porte une structure de contact transversale aux fibres si et seulement si le nombre d'Euler de la fibration vaut au plus 2g − 2 . Dans la partie 2, onétablit le fait suivant pour toute structure de contact ξ sur V : ou bien ξ est isotopeà une structure transversale aux fibres, ou bien il existe, dans un revêtement fini de V , une courbe legendrienne isotope aux fibres le long de laquelle ξ définit la même trivialisation normale que la projection sur S . Dans la partie 3, on classifie les structures de contact transversales aux fibresà isotopie et conjugaison près. Dans la partie 4, onétudie les structures de contact tendues quelconques sur V ; on montre que les structures virtuellement vrillées forment un nombre fini de classes d'isotopie tandis que les classes d'isotopie des structures universellement tendues sont en bijection avec les classes d'isotopie des multi-courbes essentielles sur S .
Mathematics Subject Classification (2000). 57M50, 57R17, 53D35, 53D10.
Mots-clés.Fibration en cercles, nombre d'Euler, structure de contact, tendue, vrillée.Dans cet article, on essaie d'analyser le comportement global des structures de contact sur les variétés fibrées en cercles au-dessus d'une surface close. Plusieurś etudes antérieures motivent et guident ce travail. Tout d'abord, sur les fibrés principaux en cercles, les structures de contact invariantes admettent,à isotopié equivariante près, une classification remarquable [Lu]. D'autre part, de nombreux résultats sur les représentations du groupe fondamental d'une surface dans PSL 2 (R) et les homéomorphismes du cercle [EHN,Gh1,Gh2,Ma,Mi,Wo] contribuentà mettreà jour la structure topologique et dynamique des feuilletages de codimension 1 sur les variétés de dimension 3 fibrées en cercles (voir par exemple [Le,Th1,Th2]). Or, en dimension 3 , les structures de contact sont, avec les fibrés tangents des feuilletages de codimension 1 , les seuls champs de plans localement homogènes et les développements parallèles des deux théories ont fait apparaître de nombreux traits communs. Soit V une variété connexe et orientée, fibrée en cercles au-dessus d'une surface S close, orientable et de caractéristique d'Euler χ (S) négative ou nulle. Vol. 76 (2001) Structures de contact sur les fibrés en cercles 219Avant de présenter rapidement les principaux résultats de ce travail, on rappelle que V , en tant que variété lisse orientée, est identifiée par le nombre d'Euler χ (V, S) de la fibration π : V → S (cf. section 1.B). On rappelle aussi qu'une structure de contact (directe) sur V est un champ de plans défini localement comme le noyau d'une 1 -forme α dont le produit extérieur avec ...
