Abstract. We identify branched coverings (continuous open surjections p : Y → X of Hausdorff spaces with uniformly bounded number of pre-images) with Hilbert C*-modules C(Y ) over C(X) and with faithful unital positive conditional expectations E : C(Y ) → C(X) topologically of index-finite type. The case of non-branched coverings corresponds to projective finitely generated modules and expectations (algebraically) of index-finite type. This allows to define non-commutative analogues of (branched) coverings.

No abstract

Недавно был найден критерий $\mathcal A$-компактности оператора $F\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ между гильбертовыми $C^*$-модулями, допускающего сопряженный, где $\mathcal{N}$ - счетно порожденный модуль. А именно, была обнаружена такая равномерная структура (система псевдометрик) в $\mathcal{N}$, что оператор $F$ является $\mathcal{A}$-компактным тогда и только тогда, когда множество $F(B)$ вполне ограничено, где $B\subset\mathcal{M}$ - единичный шар. Мы доказываем, что (1) $\mathcal{A}$-компактность влечет за собой вполне ограниченность для модуля $\mathcal{N}$ общего вида, (2) для $\mathcal{N}$ со свойством $\mathcal{N}\oplus K\cong L$, где $L$ - модуль $\ell_2$-типа, не являющийся счетно порожденным, вполне ограниченность влечет за собой компактность и (3) для $\mathcal{N}$, близких к счетно порожденным, достаточно использовать лишь псевдометрики, «похожие на фреймовые», чтобы получить критерий $\mathcal{A}$-компактности.