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A igreja Batista Vida Nova, que me acolheram e tem vivido do meu lado cada uma das conquistas que tenho alcançado neste país abençoado, o Brasil. A minhas famílias em Bucaramanga (Colômbia), Campinas e Pernambuco (Brasil). Ao meu orientador Prof. Dr. Fernando Torres, pela sua orientação, ensinamentos e em especial pelos momentos que compartilhamos como amigos durante este trabalho. Ao Prof. Dr. Paulo Brumatti, pelo tempo que me dedicou na fase final do trabalho que foi essencial para terminar. Ao Prof. Dr. Carlos Munuera, pelo apoio, incentivo e valiosos comentários do trabalho. Aos professores da banca examinadora, por todas suas sugestões, importantes para melhorar o trabalho. Aos funcionários da Unicamp, que direta e indiretamente fizeram parte desta conquista pela sua presença e trabalho, em particular Cidinha, Ednaldo e Tânia. Aos meus amigos e colegas, em especial ... a TODOS.

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The main goal in writing this dissertation is the study of the inĆuence of the Theory of Permutation Polynomials in the context of Coding Theory via the concept of balanced word. Our basic reference is the paper "Permutation polynomials and applications to coding theory" by Y. Laigke-Chapury. Our plan is to introduce the basic concepts in Coding Theory, Permutation Polynomials; then we mainly consider the long-standing open HellesethŠs conjecture.

Começo essa tese agradecendo aqueles que me ajudaram, direta ou indiretamente, nesses quase cinco anos de doutorado.Ao meu orientador, Fernando, que me recebeu na Unicamp no curso de álgebra comutativa duvidando que eu quisesse mesmo trabalhar com ele. Agradeço por todos os artigos, os livros, as discussões e pela consideração.Ao meu coorientador, Herivelto, que me recebeu em um momento difícil e me apresentou a curva H (entre outras).Às minhas famílias do Rio e de Campinas. À primeira, por me incentivar a ir com tudo para Campinas e, mesmo assim, me receber de braços abertos cada vez que eu voltava com saudades (e queria contar todas as histórias do mundo). À segunda, por me acolher com tanto carinho. Em especial, às minhas primas que passaram pelo furacão do doutorado ao mesmo tempo que eu e aos meus (já não tão mais) pequenos primos por tudo que me ensinaram sobre a vida não matemática.Ao meu querido Bruno pela motivação, pelas viagens longas à Campinas, pelas músicas, os filmes e os passeios. Mas, principalmente, por me acompanhar em cada ideia maluca que tive (e ainda tenho).Aos meus colegas de doutorado. Em especial aos algébricos (comutativos ou não), companheiros de tantas horas de estudo e tantos congressos. iv Aos meus colegas do departamento de matemática da UFJF, principalmente por me mostrarem que o doutorado devia ser prioridade e me deixarem com tempo para terminá-lo. E aos meus alunos da UFJF por acharem tão legal e motivador eu estar fazendo doutorado. Aos meus amigos cariocas por me procurarem mesmo estando longe e me incluírem nos programas mesmo que eu não pudesse ir. Aos membros da banca por aceitarem o convite do Fernando e por apresentarem tantas contribuições relevantes. Em especial, à Luciane, que já tinha começado a me ensinar a escrever matemática durante o mestrado. E ao inventor do e-mail por me colocar em contato com o Coulter para falar sobre seus artigos. Por fim, a meus pais (novamente), à Capes, ao CNPQ e ao programa PROQUALI pelo auxílio financeiro. v RESUMO Obtemos novos arcos completos associados ao conjunto de pontos racionais de uma certa generalização da curva Hermitiana que é Frobenius não-clássica. A construção está relacionada ao cálculo do número de pontos racionais de uma classe de curvas de Artin-Schreier.