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In der vorliegenden Arbeit werden geometrische Wahrscheinliehkeiten fiir Punkt-, Geraden-und Ebenenbiindelungen im dreidimensionalen euklidischen Raum ermittelt. Unter einem Biindehngseffekt verstehen wir bier die sich zuf~llig einstellende Sachlage, wonaeh es bei endlich vielen his auf eine passende Nebenbedingung im Raum zufallsartig, verstreut liegenden kongruenten Figuren eine Raumstelle derart gibt, dal] alle Figuren vom genarmten Purrkt einen Abstand aufweisen, der nicht grSSer als eine vorgegebene positive Zahl r ist. Ist der Biindeltmgsradius r klein, so karm mit ansehaulicher Sprechweise gesagt werden, dal] sieh die Figuren bei der betreffenden Raumstelle biindeln. Die untenstehende Abbfldtmg soll eine Biindelungserseheinung bei einer Menge yon Geraden G, die der Nebenbedingung geniigen, alle eiaen fest vorgegebenen EikSrper B zu treffen, illustrieren. Gem/~l] der unten angefiihrten genauen Formulierung tier allgemeinen Problemstellung entsprieht diesem der einleitenden Demonstration dienenden Sonderfall die Wahrschei~fliehkeit dafiir, da$ es eine im EikSrper B liegende Kugel vom Radius r gibt, die yon alien Geraden der Menge getroffen wird. Hierbei ist die Vermerkung sehr wesentlich, da$ nur die GrSSe der Bfindehmgskugel, nicht abet ihre Lage im EikSrper B vorgegeben ist, so da$ der Biindelungsort zuf/fllig ist.Es bezeictme B einen eigentlichen EikSrper, also eine konvexe trod kompakte Punktmenge des dreidimensionalen euldidischen Raumes E a und T~ [i-~ 1,..., n] n paarweise kongruente und abgeschlossene Punktmengen T i c E S, die alle den EikSrper B treffen sollen, so dal3 also

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It has been pointed out repeatedly in the literature that the methods of integral geometry (a mathematical theory founded by Wilhelm Blaschke and considerably extended by several mathematicians) provide highly suitable means for the solution of problems concerning “geometrical probabilities“ [2; 6; 12; 15]. The possibilities for the application of these integral geometric results to the evaluation of probabilities, satisfying certain conditions of invariance with respect to a group of transformations which acts on the probability space, are obviously not yet exhausted. In this article, such applications are presented. First, some concepts and notation are introduced (§1). In the next section we derive some integral geometric relations (§ 2). These results are generalizations of known systems of formulae and they are valid in the k-dimensional Euclidean space. In § 3, we determine mean-value formulae for the fundamental characteristics of point-sets, generated by randomly placed convex bodies.

Summary Mean‐value formulae for important characteristics (e.g. volume, surface area, etc.) of the common intersection of randomly placed point‐sets are derived under the condition that the basic probability distribution of the underlying model is either motion‐invariant or translation‐invariant (the orientation of the generating sets in this latter case being known). Various special cases are discussed, some of them leading to a new derivation of known results of geometrical probability theory. The expected value of the probability that an arbitrary point is covered by the random intersection‐set is also determined.