We explore the convergence/divergence of the normal form for a singularity of a vector field on C n with nilpotent linear part. We show that a Gevrey-α vector field X with a nilpotent linear part can be reduced to a normal form of Gevrey-1 + α type with the use of a Gevrey-1 + α transformation. We also give a proof of the existence of an optimal order to stop the normal form procedure. If one stops the normal form procedure at this order, the remainder becomes exponentially small.

We study local analytic simplification of families of analytic maps near a hyperbolic fixed point. A particularly important application of the main result concerns families of hyperbolic saddles, where Siegel's theorem is too fragile, at least in the analytic category. By relaxing on the formal normal form we obtain analytic conjugacies. Since we consider families, it is more convenient to state some results for analytic maps on a Banach space; this gives no extra complications. As an example we treat a family passing through a 1 : −1 resonant saddle.

We give an explicit expression for the (finitely) flat remainder after analytic normal form reduction of a family of planar saddles of diffeomorphisms or vector fields. We distinguish between a rational or irrational ratio of the moduli of the eigenvalues at the saddle for a certain value of the parameter. To cite this article: P. Bonckaert, F. Verstringe, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). RésuméSur le reste plat de la forme normale d'une famille de points de selle analytiques dans le plan. Nous donnons une expression explicite du reste plat d'ordre fini, obtenue après une reduction analytique en forme normale, pur une famille de difféomorphismes ou de champs de vecteurs du plan ayant un point de selle à l'origine. Nous faisons la distinction entre un rapport rationnel ou irrationnel des modules des valuers propres pour une certaine valeur du paramètre. Pour citer cet article : P. Bonckaert, F. Verstringe, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).On considère des familles de difféomorphismes ou de champs de vecteurs analytiques du plan ayant un point de selle à l'origine 0. Pour les sources ou les puits il n'y a qu'un nombre fini de résonances, même en dimension arbitraire, et même si on varie le paramètre λ de la famille ; il est connu, déjà par H. Poincaré, que le système peut être mis en forme polynomiale par conjugaison analytique ; cette conjugaison dépend en plus analytiquement du paramètre λ [3,5].Pour un point de selle dans le plan, la question de réduction analytique a déjà été étudiée dans une mémoire de H. Dulac [4]. Le système est analytiquement conjugué à une forme normale à un reste R plat d'ordre fini près. Cette forme dépend du rapport entre les valeurs propres à l'origine. Si ce rapport est rationnel pour une certaine valeur du paramètre, disons −q/p, on considère le monome u = x p 1 x q 2 ; la forme normale est une fonction de u. L'élimination du reste R est un autre type de problème, et en général on ne peut que le faire en classe de différentiabilité finie [6], surtout quand il y a des paramètres, ce que nous admettrons dans cette note. Quand on veut faire cette réduction par des séries formelles, alors elles sont divergentes en général, voir [9] pour une explication géométrique de ce phénomène. D'autre part on peut faire cette réduction en classe Gevrey-1 [1]. Dans les deux cas on perd l'information de l'analyticité.Nous résumons que l'élimination du reste R pourrait éliminer des caractéristiques importantes. Dans cette note nous donnerons une expression plus précise de ce reste plat d'ordre fini.Quand il n'y a pas de rapport rationnel entre les valeurs propres, alors il existe des conditions suffisantes pour linéariser le système [10], mais dans le cas où il y a des paramètres, c'est à dire quand les valeurs propres varient, ces conditions ne sont plus satisfaites en général. Aussi dans ce cas il faut tolérer un reste plat pour la réduction analytique d'une famille.Dans cette Note nous étudions des familles analytiques dans le voisinage de l'origine, donc nous pouvons les considére...

We consider germs of holomorphic vector fields at a fixed point having a nilpotent linear part at that point, in dimension n ≥ 3. Based on Belitskii's work, we know that such a vector field is formally conjugate to a (formal) normal form. We give a condition on that normal form which ensure that the normalizing transformation is holomorphic at the fixed point. We shall show that this sufficient condition is a nilpotent version of Bruno's condition (A). In dimension 2, no condition is required since, according to Stróżyna-Żo ladek, each such germ is holomorphically conjugate to a Takens normal form. Our proof is based on Newton's method and sl 2 (C)-representations.

Let X = λ1x1+ O(|x| 2 ) be an analytic vector field near x = 0. We suppose that the linear part of this vector field has real eigenvalues λ1, λ2 and that the ratio η = − λ 1 λ 2 is a positive irrational number. In a previous paper of the first author and P. De Maesschalck, it was shown that any analytic saddle can be conjugated analytically to a form 'as close as desired' to the formal normal form. In this paper we will iterate and renormalize these conjugacies. The iteration of this procedure will be strongly connected to the diophantine properties of η and we will establish the convergence of this process. A consequence of this convergence will be the by now classical linearization theorem of Bruno. MSC classification: 34C20 , 39A99.