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Die vorliegende Arbeit steht mit meiner Arbeit ,,4-chrome Graphen und vollstlindige 4-Graphen" [ 13 in Zusammenhang. Die jetzige Arbeit ist aber allgemeiner. Die chromatische Zahl der Graphen spielt keine Rolle, sondern es werden ganz allgemeine Bedingungen fur die Existenz von vollstlindigen 4-Graphen oder ihre Unterteilungen in abstrakte Graphen angegeben, und es wird die Verbindung zwischen dreifach zusammenhlingenden Graphen und vollstandige 4-Graphen bzw. ihre Unterteilungen untersucht. Es zeigt sich, da13 bereits recht schwache Bedingungen die Existenz von vollstlindigen 4-Graphen oder ihre Unterteilungen in einem Graph garantieren und da13 dreifach zusammenhangende Graphen sehr dicht von solchen 4-Graphen durchgewebt sind. Nach den meisten Slitzen folgen Gegenbeispiele, welche jeweils beweisen, da13 der Satz in einem naturlichen Sinne ,,bestmoglich" ist.Aus der oben erwlihnten Arbeit [l] werden hier die in der Einleitung angegebenen Definitionen (Graph, vollstandiger k-Graph und dessen Unterteilung usw.) gebraucht, und die unter ,,Benotigte Resultate" angegebene zweite Definition und Resultat 3. Sonst ist diese Arbeit von [ 13 unabhangig. Ich verwende die Terminologie von D. KONICI und setze den MENaERschen Graphensatz und eine Erweiterung dieses Satzes voraus [2]. 1. Allgemeine Resultate Satz 1. Ein Graph, welcher keinen (4) und keinen (4U) ale Teilgraph besitzt, ist eben. Beweis. Nach dem bekannten Satz von KURATOWSKI [3] besitzt ein nicht ebener Graph entweder einen (5) oder einen Hexagon mit seinen drei diagonalen, oder eine Unterteilung einer dieser beiden, als Teilgraph. Daher besitzt der Graph offenbar einen {4} oder einen (4 ??) als Teilgraph. l) Verfasser dankt der Vereinsbank in Hamburg fur das ihm zur Verfugung gestellte Forschungsstipendium.

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