Although several authors have been interested in the Hilbert scheme Hilba(IP z) parametrizing finite subschemes of length d in the projective plane ([I1, I2, F 1, F2, Br] among others) not much is known about the topological properties of this space. The Picard group has been calculated I-F2], and the homology groups of Hilb3(Ip 2) have been computed [HI. In this paper we give a precise description of the additive structure of the homology of Hilba(Ip2), applying the results of Birula-Bialynicki [B1, B2] on the cellular decompositions defined by a torus action to the natural action of a maximal torus of SL(3) on Hilbe(IPZ). A rather easy consequence of the fact that this action has finitely many fixpoints is that the cycle maps between the Chow groups and the homology groups are isomorphisms. In particular there is no odd homology, and the homology groups are all free. The main objective of this work is to compute their ranks: the Betti numbers of Hilba(Ipz).As a byproduct of our method we get similar results on the homology of the punctual Hilbert scheme and of the Hilbert scheme of points in the affine plane.It seems natural to generalize our results to any toric smooth surface. However, we give the results only for the rational ruled surfaces IF. with an indication of the necessary changes in the proofs.For simplicity we work over the field of complex numbers, but with an appropriate interpretation of the word "homology" our results remain valid over any base field.

Sur le schéma de Hilbert des variétés de codimension 2 dans P e à cône de Cohen-Macaulay Annales scientifiques de l'É.N.S. 4 e série, tome 8, n o 4 (1975), p. 423-431 © Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1975, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

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Quelles surfaces lisses peut-on plonger dans IP 4 ? Et au moyen de quels faisceaux tr6s amples? Ce probl6me est implicitement pos6 par le th6or6me de Severi suivant lequel une surface lisse de IP s, qui engendre IP 5 et qui n'est pas de Veronese, ne se projette pas isomorphiquement dans ~4-Hartshorne et Lichtenbaum sugg6rent une direction de r6flexion en conjecturant que les surfaces lisses rationnelles de ~4 forment un nombre fini de composantes du sch6ma de Hilbert.Lots d'une tentative de classification, nous avons vu parMtre quelques cas sp6ciaux dont l'existence {ou la non-existence) 6tait particuli6rement p6nible 9 ,i 6tablir. Les ph6nom6nes pr6sents semblant difficilement classifiables, nous avons d'abord observ6 une tendance num6rique qui nous a pouss6s fi conjecturer, puis fi d6montrer, le th6or~me principal de cet article, lequel est plus fort que le r6sultat conjectur6 par Harthshorne et Lichtenbaum. Nous n'abordons pas ici le probl6me de la classification. Le lecteur averti sait que l'6tude des surfaces lisses de bas degr6s de IP~ fait para~tre un grand nombre de composantes, du sch6ma de Hilbert, exceptionnelles pour notre th6or6me. Cette image plut6t confuse n'est pas imm6diatement clarifi6e par la preuve que nous pr6sentons. Pour une partie importante cette preuve repose sur une s6rie de majorations n'ayant pas d'int6r~t propre, et qui ne peuvent pas donner une borne raisonnable pour le degr6 des surfaces exceptionnelles; c'est pourquoi nous avons souvent proc6d6 brutalement, autrement dit les majorations sont rarement les meilleures possibles (Appendice A).Nous voulons enfin remercier ici le (~ referee, pour ses nombreuses remarques et suggestions pertinentes. Th60r~me. Soit a <6 un nombre r(;el. Les composantes irr(ductibles du schema de Hilbert des surfaces lisses de lP 4 contenant les surfaces S vOrifiant l'inOgalitO K 2 < a x((fis) sont en nombre fini.Remarques. 1. L'6nonc6 peut aussi s'6crire: si b < 1 est un nombre r6el, les composantes irr6ductibles du schhma de Hilbert des surfaces lisses de IP 4 contenant les surfaces v6rifiant c 2 < bc 2 sont en nombre fini.9 Espace projectif sur un corps alg6briquement clos de caract6ristique z6ro

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