The notion of a labelled space was introduced by Bates and Pask in generalizing certain classes of C*-algebras. Motivated by Exel's work on inverse semigroups and combinatorial C*-algebras, we associate each weakly left resolving labelled space with an inverse semigroup, and characterize the tight spectrum of the latter in a way that is reminiscent of the description of the boundary path space of a directed graph.

Recently, Cuntz and Li introduced the C * -algebra A[R] associated to an integral domain R with finite quotients. In this paper, we show that A[R] is a partial group algebra of the group K ⋊ K × with suitable relations, where K is the field of fractions of R. We identify the spectrum of this relations and we show that it is homeomorphic to the profinite completion of R. By using partial crossed product theory, we reconstruct some results proved by Cuntz and Li. Among them, we prove that A[R] is simple by showing that the action is topologically free and minimal.

Abstract. Motivated by Exel's inverse semigroup approach to combinatorial C*-algebras, in a previous work the authors defined an inverse semigroup associated with a labelled space. We construct a representation of the C*-algebra of a labelled space, inspired by how one might cut or glue labelled paths together, that proves that non-zero elements in the inverse semigroup correspond to non-zero elements in the C*-algebra. We also show that the spectrum of its diagonal C*-subalgebra is homeomorphic to the tight spectrum of the inverse semigroup associated with the labelled space.

RESUMO: Objetivo: Analisar a relação entre o potencial de propagação do SARS-CoV-2 e as tomadas de decisão do governo municipal de Florianópolis, Brasil, quanto ao distanciamento social. Métodos: Foram analisados casos novos de COVID-19 com tratamento de nowcasting identificados em residentes de Florianópolis entre 1º de fevereiro e 14 de julho de 2020. Também foram examinados os decretos relacionados à COVID-19 publicados no Diário Oficial do Município entre 1º de fevereiro e 14 de julho de 2020. Com base nas ações dispostas nos decretos, analisou-se se elas promoviam o relaxamento, o aumento ou a manutenção das restrições vigentes, criando-se o Índice de Distanciamento Social. Para o período de 14 dias anteriores a cada decreto, calcularam-se os números de reprodução dependente do tempo (Rt). Construiu-se uma matriz entre a classificação de cada decreto e os valores de Rt, verificando-se a consonância ou a dissonância entre o potencial de disseminação do SARS-CoV-2 e as ações dos decretos. Resultados: Foram analisados 5.374 casos de COVID-19 e 26 decretos. Nove decretos aumentaram as medidas de distanciamento social, nove as mantiveram e oito as flexibilizaram. Das 26 ações, nove eram consonantes e 17 dissonantes com a tendência indicada pelos Rt. Dissonâncias foram observadas com todos os decretos que mantiveram as medidas de distanciamento e os que as flexibilizaram. No segundo bimestre da análise houve a mais rápida expansão do número de casos novos e a maior quantidade de dissonâncias dos decretos. Conclusão: Observou-se importante divergência entre as medidas de distanciamento social com indicadores epidemiológicos no momento da decisão política.