The initial‐boundary value problem for an equation of ion sound waves in plasma is considered. A theorem on nonextendable solution is proved. The blow‐up phenomena are studied. The sufficient blow‐up conditions and the blow‐up time are analysed by the method of the test functions. This analytical a priori information is used in the numerical experiments, which are able to determine the process of the solution's blow‐up more accurately.

No abstract

В работе рассмотрены три нелинейных уравнения теории магнетиков с градиентными нелинейностями $|\nabla u|^q$, $\partial_t|\nabla u|^q$ и $\partial^2_t|\nabla u|^q$. Для соответствующих задач Коши получены результаты о локальной во времени однозначной разрешимости в слабом смысле и о разрушении за конечное время. Эти три уравнения объединены наличием критического показателя $q=3/2$, поскольку поведение слабых решений различно при $1<q\leq 3/2$ и при $q>3/2$. Методом нелинейной емкости С. И. Похожаева получены априорные оценки, из которых и вытекают результаты об отсутствии локальных и глобальных слабых решений.

Рассмотрена начально-краевая задача для многомерного уравнения ионно-звуковых волн в плазме. Доказана ее локальная (по времени) разрешимость в классическом смысле в пространствах Гeльдера. Это является развитием результатов наших предыдущих работ, где была установлена локальная разрешимость одномерных аналогов рассматриваемого уравнения и в общем случае (независимо от размерности пространства) найдены достаточные условия разрушения решения. Библиография: 16 названий.

No abstract