Twenty years ago Gromov asked about how large is the set of isomorphism classes of groups whose systolic area is bounded from above. This article introduces a new combinatorial invariant for finitely presentable groups called {\it simplicial complexity} that allows to obtain a quite satisfactory answer to his question. Using this new complexity, we also derive new results on systolic area for groups that specify its topological behaviour.Comment: 35 pages, 9 figure

Soit π un groupe de présentation finie. Pour une classe d'homologie h non nulle dans Hn(π; Z), Gromov aénoncé (dans [Gro83], §6) l'existence de cycles géométriques qui représentent h, de volume systolique relatif aussi proche que l'on veut de celui de h, pour lesquels on dispose d'un contrôle sur le volume des boules dont le rayon est plus petit qu'une fraction de la systole relative du cycle. L'objectif de cette note est d'expliquer ce résultat et d'en présenter une démonstration complète.2010 Mathematics Subject Classification. 53C23 : Global geometric and topological methods. Stéphane Sabourau pour toutes les remarques qu'ils ont pu faire sur les premières versions de ce texte, ainsi qu'Ivan Babenko pour les nombreuses discussions sur ce sujet. Je remercieégalement un rapporteur anonyme pour ses commentaires, qui ont permis d'améliorer grandement certaines parties de ce texte. Ce travail est financé par l'ANR Finsler., on obtient, d'après le lemme 2 appliquéà m = 2, dist(K 1 , K 2 ) syst(V, f, g). Ainsi :Cette dernière inégalitéétant valable pour tout v ′′ dans V ′′ , on obtient le résultat souhaité, via le théorème 6.Remarque 12. On peut toujours supposer, et ce sera le cas dans la suite, que le cycle géométrique initial (V, f, g) est normalisé : voir [Bab06].

No abstract

L'objectif de ce texte est de présenter la notion de systole d'une variété riemannienne et de faire un survol de la géométrie systolique. On illustrera aussi une technique fondamentale, appelée technique de régularisation, qui està la base de plusieurs résultats essentiels de géométrie systolique. Je détaillerai comment cette technique permet d'estimer les nombres de Betti d'une variété asphérique (d'après Gromov), et comment elle permet de relier l'entropie volumiqueà la systole et au volume systolique d'une variété riemannienne (d'après Sabourau).Sommaire 2010 Mathematics Subject Classification. 53C23 : Global topological method. Key words and phrases. Cycles géométriques, systole, volume systolique, espace d'Eilenberg-McLane, variété asphérique, nombres de Betti. Je remercie Benoît Kloeckner pour les remarques et suggestions qu'il a pu faire lors de mon passage au séminaire de théorie spectrale et de géométrie de Grenoble, ainsi qu'Ivan Babenko pour les nombreuses discussions sur ce sujet. Ce travail est financé par l'ANR Finsler. 1 2 GUILLAUME BULTEAU 5.5. Démonstration du théorème 9 22 5.6. Une inégalité liant le volume systolique, l'entropie volumique et le quotient embolique 23 References 25