Нехай дві поверхні S і S * тривимірного евклідового простору задані векторно -параметричними рівняннями. Припустимо, що встановлено відображення цих поверхонь (за допомогою рівнянь, що однозначно виражають криволінійні координати однієї поверхні через координати іншої поверхні). Віднесемо ці поверхні до спільних координат u, v. Тоді, за теоремою Тіссо [1], існує одна і лише одна система ліній, що є ортогональною і на поверхні S, і на поверхні S * , яка визначається рівняннямде E, F, G і E ′ , F ′ , G ′ -коефіцієнти перших квадратичних форм заданих поверхонь. Розгорнемо рівняння (1) до вигляду(2) Отже, диференціальне рівняння (2) визначає дійсну ортогональну регулярну сітку ліній, спільну для двох різних поверхонь. Такі сітки ліній в даній роботі називаються біортогональними. Дослі-джуються властивості біортогональних сіток для деяких пар поверхонь, віднесених до спільних координат.Насамперед виникає необхідність у явному вираженні сіткового тензора для біортогональної сітки. Має місце Для того, щоб здобути тензор біортогональної сітки, передусім необхідно від гаусових позначень геометричних величин в рівнянні (2) перейти до індексних позначень u = x 1 , v = x 2 , E = g 11 , F = g 12 , G = g 22 , E ′ = a 11 , F ′ = a 12 , G ′ = a 22 .Безпосередньою перевіркою можна переконатися, що рівняння (2) набуває інваріантного виглядуабо, що те ж саме, (c αγ a βδ + c βγ a αδ ) g γδ dx α dx β = 0.Доведено, що біортогональна сітка є спільною як для пар паралельних поверхонь, так і для сімейства паралельних поверхонь у цілому. При цьому вона збігається з сіткою ліній кривини.Знайдено рівняння біортогональної сітки деформованої поверхні S та здеформованої поверхні S * за умови, що їх радіус-вектори пов'язані рівністю (t → 0) r * (x 1 , x 2 , t) = r(x 1 , x 2 ) + tU (x 1 , x 2 ).Встановлено, що у випадку ареальної нескінченно малої деформації біортогональна сітка поверхонь S і S * збігається з сіткою головних ліній деформації. Ряд властивостей цієї сітки при ареальній нескінченно малій деформації сформульовано в [2].
ЛІТЕРАТУРА[1] M. Tissot. Memoire sur la representation des surfaces et les projections des eartes geographiques.Paris, 1881, p.337.[2] Л. Л. Безкоровайна. Головна сітка нескіченно малих деформацій із стаціонарною площею.Тези доповідей 5-ої між-народної конференції з геометрії та топології. Пам'яті О. В. Погорєлова, Черкаси 2003, ст. 12-13. 4 Про ізотопність функцій леми Морса Бондар О. П. (КЛА НАУ, Кропивницький) E-mail: bondarkla@ukr.net В. В. Шарко [1] дав означення ізотопних функцій Морса, за допомогою яких вивчались вла-стивості многовидів, на яких було задано ці функції. З метою розширення можливостей вивчення зв'язку топології многовидів із заданими на них функціями було узагальнено поняття ізотопних функцій Морса, а саме, введено означення ізотопних функцій, [2]. Це означення, зокрема, дозво-лило побудувати шлях, [1], що поєднує функції леми Морса, показавши їх ізотопність. Твердження 1. Нехай f 0 : R n → R -диференційовна функція і x 0 = (x 1 0 , . . . , x n 0 ) -невироджена критична точка цієї функції....
