implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ SUR UNE CLASSE D'ESPACES ^INTERPOLATION par J.-L. LIONS (Paris) et J. PEETRE (Lund) (1) INTRODUCTION Soient \ et A^ deux espaces vectoriels topologiques, tous deux contenus dans un même espace vectoriel topologique séparé j^, l'injection de A^. dans j^ étant continue, î==o, i. Pour commencer nous considérons le cas où les A^ sont des espaces de Banach. On appelle espace intermédiaire tout espace de Banach A tel que A^nAiCAcAo+A^. Les problèmes considérés ici gravitent autour de la question suivante : \ et A^ étant donnés, construire des espaces intermédiaires, de façon à ce que la propriété d 9 interpolation par rapport aux applications linéaires ait lieu, autrement dit : si A est construit à partir du couple {AQ, A^} et si B est obtenu par la même construction à partir d'un deuxième couple d'espaces de Banach {B^, B^}, alors toute application linéaire continue de Ad ans B^, i==o et i==i, applique continûment A dans B. De telles constructions existent en assez grand nombre; nous étudions ici F une de ces méthodes, conduisant aux espaces de moyennes que nous avons introduits dans J.-L. Lions-J. Peetre [24]. Le chapitre I er contient les définitions principales, deux définitions équivalentes des espaces de moyennes S(j&o, Ço, \; j&i, Ci, \); on montre que les espaces S ont la propriété d'interpolation (n° 3). Le cas des applications multilinéaires est brièvement indiqué au n° 4 et le n° 5 contient quelques propriétés immédiates des espaces S. Le chapitre II contient deux nouvelles définitions (équivalentes) des espaces S; en gros, on y remplace les intégrales par des séries, les espaces L^ÇA^), L^AjJ {fonctions If à valeurs dans des Banach) sont remplacés par ^(A^) [suites P à valeurs dans les A^); on montre l'équivalence des définitions. Sous des hypothèses raisonnables sur les A^, le dual d'un espace intermédiaire ayant la propriété d'interpolation est un espace intermédiaire pour les A^' (dual de A,) avec la propriété d'interpolation; il est donc important de chercher le dual de S; on montre au chapitre III que le dual de S(^o, Çg, Aç ', p^y Ç^, A,) est identifiable (l) Les A. ont été soutenus par l'Interpol. 6 J.-L. LIONS ET J. PEETRE à S(^o, Ço, AQ; p[, Ci, A^), I/A+ i/A'^ I ^ donc /^ rf^a/ rf'z^ ^a^ ^ moyennes est encore un espace de moyennes, (Notre raisonnement initial ne donnait qu'incomplètement le résultat lorsque po ==p^ == i ; une modification de ce raisonnement a permis à M. A. Persson d'obtenir aussi le cas ?Q ==j&i == i; c'est la méthode de M. A. Persson que, avec son accord, nous suivons ici, au chap. III, n° 3.) Une question également importante est de voir si les espaces de moyennes entre des espaces de ...

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We consider Hankel forms on the Hilbert space of analytic functions square integrable with respect to a given measure on a domain in \mathbb C^n . Under rather restrictive hypotheses, essentially implying «homogeneity» of the set-up, we obtain necessary and sufficient conditionsfor boundedness, compactness and belonging to Schatten classes S_p, \; p ≥ 1 , for Hankel forms (analogues of the theorems of Nehari, Hartman and Peller). There are several conceivable notions of «symbol»; choosing the appropriate one, these conditions are expressed in terms of the symbol of the form belonging to certain weighted L^p -spaces.Our theory applies in particular to the Fock spaces (defined by a Gaussian measure in \mathbb C^n ). For the corresponding L^p -spaces we obtain also a lot of other results: interpolation (pointwise, abstract), approximation, decomposition etc. We also briefly treat Bergman spaces.A specific feature of our theory is that it is «gauge invariant». (A gauge transformation is the simultaneous replacement of functions f by f\phi and d\mu by |\phi|^{–2} d\mu , where \phi is a given (non-vanishing) function). For instance, in the Fock case, an interesting alternative interpretation of the results is obtained if we pass to the measure exp (- y^2)dx \; dy . In this context we introduce some new function spaces E_p , which are Fourier, and even Mehler invariant.

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