Abstrak: Geometri fraktal, juga dikenal sebagai "geometri alam", adalah jenis geometri yang mempelajari geometri tidak beraturan. Karakteristik utama dari geometri fraktal adalah self-similarity, yaitu bagian lain dari fraktal memiliki bentuk yang serupa pada skala yang berbeda. Penelitian ini bertujuan untuk membangun pola fraktal berdasarkan bentuk dasar persegi dan menggunakan dua jenis transformasi affine, yaitu dilatasi dan translasi. Parameter yang dapat diubah untuk transformasi adalah skala. Implementasi pembuatan program dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman Python. Dengan membandingkan hasil dari enam iterasi untuk skala 0,5 dan 0,45, diperoleh perbedaan secara visual baru terlihat jelas dari iterasi 3.Kata kunci: geometri fraktal, transformasi, persegiAbstract: Fractal geometry, also known as "natural geometry", is a type of geometry that studies irregular geometries. The main characteristic of fractal geometry is self-similarity, i.e. other parts of the fractal have a similar shape at different scales. This study aims to build a fractal pattern based on a basic shape of a square and use two types of affine transformations, which are dilation and translation. The parameter that can vary for the transformation is the scale. The implementation of making the program is carried out using the Python programming language. By comparing the results of the six iterations for a scale of 0.5 and 0.45, the visual differences are only clearly visible from iteration 3.Keywords: fractal geometry, transformation, square

Many world phenomena lead to nonlinear equations systems. For some applications, the non-linear equations which construct the non-linear equations system are interpolation functions. However, the interpolation functions are usually not represented as mathematical expressions but as computer programs in specific programming languages. The research proposed using the relaxed Newton method to solve the non-linear equations system that contained interpolation functions. The interpolation functions were represented in the R programming language. Then, the experiment used the Spline interpolation function to construct a two-dimensional non-linear equations system. Eleven initial guesses, maximum of ten-time iterations, and 10-7 precision were applied. The solution of the non-linear equations system and the iteration needed on each initial guess were observed. The experiment shows that the proposed method works well for solving the non-linear equations system constructed by Spline interpolation functions. By observing the initial guesses used in the experiment, there are four possible results: true solution, spurious solution, false solution, and no solution. Applying 11 initial guesses have five initial guesses resulting in true solutions, one initial guess in spurious solution, three initial guesses in false solutions, and one initial guess in no solution. The discussions imply that this method can be generalized to the three-dimensional non-linear equations system or higher dimensions.

Steganografi dengan metode fraktal (fractal steganography) adalah teknik menyembunyikan informasi atau pesan, yang dapat berupa citra rahasia, dalam suatu citra sampul (cover image) yang berupa citra fraktal (fractal image). Dalam penelitian ini digunakan citra fraktal matematis yaitu citra  himpunan Julia dari fungsi komplek z2 – c, dengan memanfaatkan sifat-sifat fraktalnya yaitu antara lain sensitif terhadap nilai awal, kesamaan diri dan iteratif.  Pertama, dibahas bagaimana menyembunyikan citra rahasia dalam suatu citra sampul yaitu citra himpunan Julia dari fungsi komplek z2 – c dengan nilai c dijadikan salah satu komponen dari kunci(key) dan juga nggunakan manipulasi warna (RGB) dari citra sampul, suatu pesan berupa citra rahasia yang sudah dikonversi dalam betuk matrik biner 0,1 dapat disembunyikan sehingga menghasilkan citra stego (stego image) yang secara visual sama dengan citra sampulnya dan diharapkan tahan terhadap serangan. Kemudian, dibuat program komputer yang mampu menyembunyikan dan mengambil kembali citra rahasia pada citra sampul himpunan. Dari analisis hasil program komputer yang dibuat, perbandingan antara citra sampul dan citra stego berukuran 512x512 pixel, didapat bahwa rata-rata RMSE 0,2305 dan rata-rata PSNR  60,88 db dari 12 set data uji, hal ini menunjukkan bahwa kedua citra sangat mirip sehingga sulit dibedakan mana citra yang memuat citra rahasia dengan ukuran citra rahasia paling besar 128x85 pixel atau 261.120 bits. Waktu proses penyembunyian citra rahasia rata-rata 1,626 detik (tidak termasuk waktu pembuatan citra sampul) sedangkan waktu proses pengambilan kembali citra rahasia rata-rata 4,526 detik

Enkripsi citra dengan metode fraktal adalah proses penyandian yang mengubah citra asli (plain image) menjadi citra yang tidak bisa dimengerti (cipher image) dengan menggunakan citra fraktal (fraktal image). Sedangkan dekripsi citra adalah proses sebaliknya yaitu mengubah cipher image menjadi citra asli. Citra fraktal yang digunakan pada penelitian ini adalah citra himpunan Mandelbrot z2 – c pada domain tertentu, dengan z adalah variabel komplek. Pertama, dibahas bagaimana enkripsi dan dekripsi citra warna menggunakan citra himpunan Mandelbrot dengan data domainnya dijadikan sebagai kunci(key). Proses enkripsi dilakukan dengan merubah setiap pixel dari citra asli yaitu merubah nilai bit ke-2 (0 menjadi 1 atau 1 menjadi 0) kemudian ditambahkan nilai warna dari citra fraktalnya sehingga diperoleh citra terenkrip. Sedangkan proses dekripsi adalah proses sebaliknya, yaitu setiap pixel dari citra terenkrip nilai warnanya dikurangi nilai warna dari citra fraktalnya kemudian dirubah nilai bit ke-2nya (0 menjadi 1 atau 1 menjadi 0) sehingga diperoleh citra hasil dekripsi yang diharapkan sama dengan citra asli. Kemudian, dibuat program komputer yang mampu melakukan enkripsi dan dekripsi citra warna menggunakan citra himpunan Mandelbrot, baik yang single fractal maupun multi fractal, dan selanjutnya dilakukan analisis terhadap hasil program. Citra hasil enkripsi dari 6 citra uji dianalisis dengan menentukan nilai NPCR dan UACI, dimana nilai NPCR semuanya 100% sedangkan rerata nilai UACI adalah 31,47%. Waktu enkripsi reratanya adalah 2.95 detik dan waktu dekripsi reratanya 2,89 detik. Citra hasil dekripsi mempunyai RMSE = 0 terhadap citra asli, hal ini menunjukkan bahwa citra hasil dekripsi sama persis dengan citra asli, sedangkan dari hasil nilai UACI dari beberapa data uji dan juga berdasarkan pengamatan secara visual didapat bahwa citra hasil enkripsi menggunakan multi fraktal sedikit lebih baik dibandingkan dengan single fraktal.