Calcul et rationalité de fonctions de Belyi en genre 0 Annales de l'institut Fourier, tome 44, n o 1 (1994), p. 1-38 © Annales de l'institut Fourier, 1994, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales de l'institut Fourier » (http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Ann. Inst. Fourier, Grenoble 44, 1 (1994), 1-38 CALCUL ET RATIONALITÉ DE FONCTIONS DE BELYI EN GENRE 0 par Jean-Marc COUVEIGNES(*) 1. Introduction. A l'heure de l'affût, soit lorsque la lumière Précipite ses traits dans l'humide séjour, Soit lorsque le soleil rentre dans sa carrière, Et que, n'étant plus nuit, il n'est pas encor jour, Au bord de quelque bois sur un arbre je grimpe, Et, nouveau Jupiter, du haut de cet Olympe, Je foudroie, à discrétion, Un lapin qui n'y pensait guère. Je vois fuir aussitôt toute la nation Des lapins, qui, sur la bruyère, L'oeil éveillé, l'oreille au guet, S'égayaient, et de thym parfumaient leur banquet. Le bruit du coup fait que la bande S'en va chercher sa sûreté Dans la souterraine cité : Mais le danger s'oublie, et cette peur si grande S'évanouit bientôt; je revois les lapins, Plus gais qu'auparavant, revenir sous mes mains. Ne reconnaît-on pas en cela les humains ? La Fontaine, Les Lapins. Ce qui suit comporte 10 sections. Immédiatement après celle-ci, la deuxième est un rappel et une mise en forme assez générale des équations conduisant au calcul d'une fonction de Belyi dans le cas des arbres. On notera cependant que des formules analogues existent pour un dessin quelconque. Dans la troisième section, une méthode de calcul est proposée. L'existence de fonctions de Belyi agréables pour les arbres est démontrée dans la quatrième section. La cinquième section présente un dessin dont (*) Membre de l'Option Recherche du Corps des Ingénieurs de l'Armement. Mots-clés : Revêtement-Théorie de Galois-Corps des modules-Corps de définition-Algorithmique des corps de fonctions. Classification A.M.S. : 11R32-11Y40. 2 JEAN-MARC COUVEIGNES le corps des modules est Q mais sans fonction de Belyi rationnelle sur la sphère. Cet exemple est renforcé dans la sixième section pour conduire à un dessin sans modèle rationnel sur la sphère ni sur aucune courbe de genre 0. Dans la septième section nous montrons comment calculer une fonction de Belyi pour un dessin de genre zéro sans automorphismes, définie sur son corps des modules. Dans la huitième section, nous examinons le cas des dessins dont le groupe d'automorphismes est non trivial. Nous concluons dans la neuvième section en reprenant les résultats des sections précédentes. Pour finir, la dixième section décrit les calculs effectu...
