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Summary. In this paper, we study the convergence of formal power series solutions ~ of functional equations of the form ~ Pk(X)~b(q~lk~(x)) = O(X), where t, olkl(x) denotes the k-th iterate of the function ~.We obtain results similar to the results of Malgrange and Ramis for formal solutions of differemial equations: if ~p(0) = 0, and q~'(0) = q is a nonzero complex number with absolute value less than one then, if ~p(x) = ~ a(n)x" is a divergent solution, there exists a positive real number s such that the power series ~ a(n)q '"~"+ ~) 2x" has a finite and nonzero radius of convergence.

Nous allons commencer par donner quelques définitions. Soient p un nombre premier rationnel fixé, et C p le complété d'une clôture algébrique du corps Q p des nombres p-adiques. Pour un polynôme Hà coefficients dans C p , on note d(H) son degré. Soit R une fraction rationnelle ; onécrit R = P/Q, avec P et Q polynômes premiers entre eux ; on notera alors d(R) la quantité max{d(P ), d(Q)}, qui sera le degré de R.On supposera dans toute la suite que R est de degré au moins 2. La fraction rationnelle R définit une application de P 1 (C p ) dans luimême, que nous visualiserons simplement en rajoutant un pointà l'infinì a C p .Dans ce cadre, on peut itérer la transformation quià x ∈ C p ∪ {∞} associe R(x) ; nous noterons R [n] les itérées successives de R. On peut définir une distance sur P 1 (C p ), la distance sphérique, de la façon suivante : pour deux points A = (x, y) et B = (u, v), on pose ∆(A, B) = |vx − uy| max{|x|, |y|} max{|u|, |v|} .

Solutions entières d'un système d'équations aux différences Annales de l'institut Fourier, tome 43, n o 3 (1993), p. 791-814 © Annales de l'institut Fourier, 1993, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales de l'institut Fourier » (http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Mots-clés : Equations aux différences-Polynômes exponentiels-Équations différentielles linéaires. Classification A. M. S. : 39A-39B-34A-33B-30D. 792 J.-P. BÉZIVIN et F. GRAMAIN (e^-l)/z qui n'est pas un polynôme exponentiel (regarder par exemple le comportement de/à l'infini) mais vérifie pour tout a 6 C x la relation (z + 2a)f(z 4-2a)-(1 + e^Çz + a)f(z + a) 4-e^/Qz) = 0. Dans cet article nous montrons que, même si la réponse est négative, elle n'est pas très éloignée d'être positive. Nous étudions les solutions entières / d'un système de deux équationŝ Am(z)f(z+am)=0 \m