We study cohomologies of a curve with an action of a finite p-group over a field of characteristic p. Assuming the existence of a certain "magical element" in the function field of the curve, we compute the equivariant structure of the module of holomorphic differentials and the de Rham cohomology, up to certain local terms. We show that a generic p-group cover has a "magical element". As an application we compute the de Rham cohomology of a curve with an action of a finite cyclic group of prime order.

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In this note we investigate the p-degree function of an elliptic curve E/Q p . The p-degree measures the least complexity of a non-zero p-torsion point on E. We prove some properties of this function and compute it explicitly in some special cases.

Let X be an algebraic curve with a faithful action of a finite group G over a field k. We show that if the Hodge–de Rham short exact sequence of X splits G-equivariantly then the action of G on X is weakly ramified. In particular, this generalizes the result of Köck and Tait for hyperelliptic curves. We discuss also converse statements and tie this problem to lifting coverings of curves to the ring of Witt vectors of length 2.