In this article, we present univalence criteria for polyharmonic and polyanalytic functions. Our approach yields new a criterion for a polyharmonic functions to be fully α-accessible. Several examples are presented to illustrate the use of these criteria.2000 Mathematics Subject Classification. Primary: 31A05, 31A30, 31C05, 30C45, 52A30; Secondary: 30C20.

1 Преподаватель кафедры математического анализа, Петрозаводский государственный университет, amokira@rambler.ru 2 Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математического анализа, Петрозаводский государственный университет, VstarV@list.ru В статье продолжается исследование α-достижимых областей в R n . Они являются звездообразными и удовлетворяют важному для приложений условию конуса. Для непрерывной в R n функции F получены условия α-достижимости области, определяемой неравенством F (x) < 0. При этом эти условия (теоремы 1, 2) записаны в виде неравенств на производные по направлениям; необходимое и достаточное условия отличаются только знаком равенства в этих неравенствах. Даже в случае α = 0 (случай звездообразности области) мы получили новые результаты.Ключевые слова: условие конуса, α-достижимые области, звездообразные множества. ВВЕДЕНИЕВ теоремах вложения, в теории интегральных представлений функций, в вопросах граничного поведения функций, разрешимости задачи Дирихле важно, чтобы область определения функции удовлетворяла условию конуса или его обобщению (см., например, [1, гл. 1, § 8; 2-4]).Обозначим через K(p, e, α, r) замкнутый круговой конус раствором απ, α ∈ (0; 1), с вершиной в точке p ∈ R n , осью симметриивектором e и высотой r ∈ (0; ∞]. Говорят, что область D ⊂ R n удовлетворяет условию конуса (слабому), если для каждой точки p ∈ D конус K(p, e(p), α, r) ⊂ D для некоторых фиксированных значений α ∈ (0; 1) и r ∈ (0; ∞]. В [5] (см. также [6]) исследуются области с условием конуса при дополнительном предположении, что ось симметрии конуса для каждой точки p ∈ D -радиальная, т. е. e(p) = −p. Для этого в [5] (см. также [6]) вводится понятие α-достижимой области.Определение [5] (см. также [6]). Область D ⊂ R n , 0 ∈ D, называется α-достижимой (относительно 0), α ∈ [0; 1), если для каждой точки p ∈ Σ = ∂D существует такое число r = r(p) > 0, что конус K + (p, α, r) ⊂ D ′ = R n \D; здесь и далее K + (p, α, r) -конус, полученный пересечением замкнутого евклидова шара B n (p, r) радиуса This paper continues the study of α-accessible domains in R n . They are starlike domains and satisfy cone condition which is important for applications. Conditions of α-accessibility of domain, defined by the inequality F (x) < 0, is obtained for a continuous function F in R n . Thus these conditions are written in the form of inequalities for the directional derivatives; necessary and sufficient conditions differ only in the sign of equality in these inequalities. We obtain new results even in the case where α = 0 (the case of starlike domains).

Abstract. In [1], [2] (α, β)-accessible domains in C were defined and investigated, and the criterion of (α, β)-accessibility in a smooth case was obtained. (α, β)-accessible domains are starlike, γ-accessible (γ = min{α; β}), and satisfy the so-called "cone condition" (i. e. the domains are conically accessible from the interior), which is important for applications, such as the theory of integral representations of functions, imbedding theorems, the questions of the boundary behavior of functions, the solvability of Dirichlet problem. In this paper the author obtains the necessary and some sufficient conditions of (α, β)-accessibility of domain in nonsmooth case.

The article is devoted to the class A α,β ρ of all (α, β)accessible with respect to the origin domains D, α, β ∈ [0, 1), possessing the property ρ = min p∈∂D |p|, where ρ ∈ (0, +∞) is a fixed number. We find the maximal set of points a such that all domains D ∈ A α,β ρ are (γ, δ)-accessible with respect to a, γ ∈ [0; α], δ ∈ [0; β]. This set is proved to be the closed disc of center 0 and radius ρ sin φπ 2 , where φ = min {α − γ, β − δ} .

No abstract