Nous introduisons une semi-norme sur un espace de fonctions C sur un espace syme trique re ductif GÂH. Nous montrons que les fonctions C , K-finies, propres sous l'action de l'algeÁ bre des ope rateurs diffe rentiels G-invariants, et pour lesquelles cette semi-norme est finie, de me^me que pour ses de rive es par les e le ments de l'algeÁ bre enveloppante de l'algeÁ bre de Lie de G, sont tempe re es. Re ciproquement, on explicite cette semi-norme pour les fonctions tempe re es K-finies qui sont propres pour un caracteÁ re re gulier de l'algeÁ bre des ope rateurs diffe rentiels G-invariants. L'application de ces re sultats aux inte grales d'Eisenstein permet d'e tablir des relations d'orthogonalite de Schur ge ne ralise es. Notre travail ge ne ralise et pre cise des re sultats de H. Midorikawa (1988, Adv. Stud. Pure Math. 14, 257 287) pour les groupes. Academic PressMots-cle : espace syme trique re ductif; repre sentation des groupes et des algeÁ bres de Lie; de veloppements asymptotiques et convergents; terme constant d'une fonction tempe re e; inte grales d'Eisenstein.We introduce a seminorm on a space of C functions on a reductive symmetric space GÂH. We show that the C K-finite eigenfunctions of the algebra of all G-invariant differential operators on GÂH for which this semi-norm is finite, as well as for their derivatives from the left, are tempered. Reciprocally, we make explicit this seminorm for the K-finite tempered eigenfunctions with a regular character. Applying those result to Eisenstein integrals, we obtain general Schur orthogonality relations. Our work generalizes and specifies the results of H. Midorikawa (1988, Adv. Stud. Pure Math. 14, 257 287) in the group case. repre sentation de la se rie discreÁ te de G, alors pour tous v, w, v$, w$ # H, on a: Lorsque G est re ductif, H. Midorikawa a montre qu'on peut de finir un produit scalaire``intrinseÁ que'' sur l'espace engendre par les coefficients de toute repre sentation irreductible tempe re e aÁ caracteÁ re infinite simal re gulier de sorte que les relations d'orthogonalite de Schur aient encore lieu. Une telle repre sentation (?, H) est induite aÁ partir d'un sous-groupe parabolique cuspidal de G, dont on note r le rang de ploye . On fixe un sous-groupe compact maximal K de G et on note d( g) la distance de gK aÁ l'origine dans l'espace riemannien syme trique GÂK. Alors (Relations d'orthogonalite de Midorikawa):il existe une constante d ? >0 telle que, pour tous vecteurs K-finies v, v$, w, w$ de H,Il est bien connu que les relation d'orthogonalite de Schur (cf. (0.1)) ont un analogue pour les se ries discreÁ tes des espaces syme triques ouÁ l'on remplace les coefficients de repre sentations par des coefficients ge ne ralise s. Maintenant, suite aux de veloppements re cents de l'analyse harmonique sur les espaces syme triques re ductifs, on peut espe rer un analogue des relations de Midorikawa (cf. (0.2)) pour ces espaces. L'objectif de ce travail est de re pondre aÁ cette question, en pre cisant de plus la constante d ? . Celle-ci n'e tait pas co...

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