No abstract

We will prove in Zermelo-Fraenkel set theory without axiom ofcboice that the transitive hull R' of a relation R is not much "bigger" than R itself. As a measure for the size of a relation we introduce the notion of 6-narrowness using surjective Hartogs numbers rather than the usul injective Hartogs values. T h e main theorem of this paper states that the transitive hull of a 6-narrow relation is *+-narrow. As a n immediate corollary we obtain that, for every infinite cardinal 6, the class HC6 of all 6-hereditary sets is a set with von Neumann rank e(HC6) 5 6 ' . Moreover, e(HC6) = I(+ if and only if I( is singular, otherwise Q(HCK) = 6. The statements of the corollary are well known in the presence of the axiom of choice (AC). To prove them without ACas carried through here is, however, much harder. A special case of the corollary (6 = W I , i.e., the class HCwl of all hereditarily countable sets) has been treated independently by T. JECH. 04A05, 03E20, 08A02, 08A65, 08BPO. Key words: Transitive hull of a relation, surjective Hartogs number, 6-hereditary sets, Peano algebras, infinitary languages. ~~~ ~~~ ')The main results of this paper were mentioned first in a talk ("Zur Konstruktion infinitiirer Sprachen L,,g ohne Auswahlaxiom") at the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, West Germany, 25.-30.4.197T, and presented in detail -"Die Klasren Xis und HCs der Mengen von erblicher Kardinalzahl < s (in ZF ohne Auswahlaxiorn)"at the same place, 5.-11.4.1981.

No abstract

Carol Harp zum Gedachtnis EinleitungAls unentbehrliche Eigenschaft einer jeden formalen Sprache fordert man, daB alle sinnvollen Ausdriicke dieser Sprache auf hochstens eine Weise zerlegt werden konnen. Diese Eigenschaft ist notwendigund zusammen mit dem leicht zu realisierenden Induktionsaxiom auch hinreichenddafiir, daB die Bedeutungen a l l e r Ausdriicke nach Interpretation der Operations-und Relationssymbole sowie der logischen Konstanten schon durch die Bedeutungen der u n z e r l e g b a r e n Ausdrucke, d. h. der Individuenvariablen, eindeutig bestimmt sind. J e nach Konstruktion der Sprache ,kann der Beweis dieser Eigenschaft einfach oder auch technisch kompliziert sein. Bei der Darstellung der Ausdriicke als geordnete Paare zum Beispiel ist der Beweis sehr einfach, jedoch werden bei dieser Konstruktion schon weiterreichende mengentlieoretische Hilfsmittel verwendet. Hauptnachteil dieser und ahnlicher mengentheoretischer Konstruktionen diirfte aber der unanschauliche und undurchsichtige Aufbau der Formeln sein. Priiziser ausgedriickt : Notation sowie Struktur der Grammatik spiegeln nicht in einfacher und adaquater Weise Auf bau und Eigenschaften der hezeichneten Objekte bzw. Inhalt der einschlagigen Aussagen wieder. Am anschaulichsten und intuitiv einfachsten diirfte die Darstellung von Ausdriicken als Symbolfolgen sein (Zineare Kodierung), und zwar nicht nur im klassischen Fall endlicher Sprachen, sondern gerade auch bei unendlichen Sprachen. Als Indiz dafur darf man wohl die Tatsache werten, da13 selbst dort, wo eine andere Darstellung der formalen Grammatik gewahlt wird, in der Metasprache eben diese Darstellung unreflektiert verwendet wird.Die bekannten Beweise fur die eindeutige Zerlegbarkeit von Ausdriicken linear kodierter Sprachen sind nunobwohl mathemativch einfachbisweilen sehr komplizicrt, und zwar insbesondere fur formale Sprachen, in denen Klammern verwendet l ) Die meisten Ergebnisse dieser Note wurden vom Verfasser im AnschluB an ein Seminar iiber Universelle Algebra 1961/62 an der Universitat Koln gewonnen, bisher aber nicht veroffentlirht. Jedoch hat der Verfasser bei mehreren Gelegenheiten auf die Moglichkeit derart einfacher Beweise fur die eindeutige Zerlegbarkeit von Ausdriicken insbesondere auch infinitarer Sprachen hingewiesen. Da selbst in jiingster Zeit noch Darstellungen mit erheblich komplizierteren Beweisen publiziert worden sind, erscheint eine Veroffentlichung auch nach so langer Zeit noch angebritcht.Nach Einreichen und Annahme dieser Note fuhrten personliche Umstande des Verfassers zu einer ungewohnlich grolen Verzogerung der endgultigen Veroffentlichung.Danken mochte der Verfasser den Professoren WALTER FELSCHER, GERT H. MULLER, ARNOLD OBERSCHELP und ROBERT L. VAUGHT fur anregende Diskussionen und wertvolle Hinweise. 14* werden. I ) Gelegentlich werden daher diese Beweise bei Einfuhrungen in die mathematische Logik ginzlich unterdruckt, sei es, dalj man den Sachverhalt als intuitiv einleuchtend betrachtet, sei es, daB man den Aufwand fiirchtet.Ziel dieser Note ist es, erh...

We will prove that some so-called union theorems (see [2]) are equivalent in ZF 0 to statements about the transitive closure of relations. The special case of "bounded" union theorems dealing with κ-hereditary sets yields equivalents to statements about the transitive closure of κ-narrow relations. The instance κ = ω1 (i. e., hereditarily countable sets) yields an equivalent to Howard-Rubin's Form 172 (the transitive closure Tc(x) of every hereditarily countable set x is countable). In particular, the countable union theorem (Howard-Rubin's Form 31) and, a fortiori, the axiom of countable choice imply Form 172. Mathematics Subject Classification: 03E25, 03E99.We will work in one of the familiar systems of set theory without the axiom of choice (AC) and the axiom of foundation, e. g., in ZF 0 . We use customary set-theoretic notation and notions, 2) and though all theorems of this paper can be reformulated in "pure" set theory, we will also make use of syntactical devices such as (informal) class variables and class terms. Throughout this paper infinite cardinals κ, λ, . . . will always be well-ordered cardinals, i. e., alephs; κ + is the cardinal successor of cardinal κ.For the reader's convenience, we mention here some further particular notions. For any two classes A and B, A \ B denotes the set-theoretical difference. Given an arbitrary relation R, i. e., a class of ordered pairs a, b , R −1 is the converse relation, R | X is the restriction of R to class X, i. e., R | X := R ∩ (X × X), and R X is the domain-restriction of R to X. R[X] denotes the R-image of class X, fd(R) = dom(R) ∪ rng(R) is the field of R, and R • S is the relative product of relations R and S. For any two functions f and g, f · g denotes the composition, defined 1) e-mail: Servitor@mi.uni-koeln.de 2) For the reader's convenience we have tried to stick to Howard-Rubin's terminology as close as possible without giving up the terminology and notation of [1]. There is, however, a difference that should be mentioned here. Our "ZF 0 " is just Zermelo-Fraenkel set theory without the axiom of foundation, (see, e. g., Lévy [4], Vaught [5]) whereas Howard-Rubin's "ZF 0 " admits atoms, but requires foundation for sets of sets.