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For γ ∈ (0, 2), the quantum disk and γ -quantum wedge are two of the most natural types of Liouville quantum gravity (LQG) surfaces with boundary. These surfaces arise as scaling limits of finite and infinite random planar maps with boundary, respectively. We show that the left/right quantum boundary length process of a space-filling SLE 16/γ 2 curve on a quantum disk or on a γ -quantum wedge is a certain explicit conditioned two-dimensional Brownian motion with correlation − cos(π γ 2 /4). This extends the mating of trees theorem of Duplantier, Miller, and Sheffield (2014) to the case of quantum surfaces with boundary (the disk case for γ ∈ ( √ 2, 2) was previously treated by Duplantier, Miller, Sheffield using different methods). As an application, we give an explicit formula for the conditional law of the LQG area of a quantum disk given its boundary length by computing the law of the corresponding functional of the correlated Brownian motion.Résumé. Pour γ ∈ (0, 2), le disque quantique et le γ -secteur angulaire quantique sont deux types, parmi les plus naturels, de surfaces avec frontières pour la gravité quantique de Liouville (LQG). Ces surfaces apparaissent comme limites d'échelle des cartes planaires, respectivement finies et infinies, avec frontières. Nous montons que les processus des longueurs de la frontière quantique à gauche/droite d'une courbe SLE 16/γ 2 sur un disque quantique ou un γ -secteur angulaire quantique est un mouvement Brownien 2-dimensionnel, sous un conditionnement explicite, avec corrélation − cos(π γ 2 /4). Ceci étend le théorème d'accouplement d'arbres de Duplantier, Miller, et Sheffield (2014) au cas des surfaces quantiques avec frontières (le cas du disque pour γ ∈ ( √ 2, 2) avait été traité par Duplantier, Miller, Sheffield en utilisant des méthodes différentes). Comme application, nous donnons une formule explicite pour la loi conditionnelle de l'aire de la LQG d'un disque quantique étant donnée la longueur de sa frontière en calculant la loi de la fonctionnelle correspondante du mouvement Brownien corrélé.