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Probability theory/StatisticsA note on the strong consistency of a constrained maximum likelihood estimator used in crash data modeling À propos de la consistance forte d'un estimateur du maximum de vraisemblance sous contraintes utilisé dans la modélisation des données d'accidents

a b s t r a c tWe consider, in the presence of covariates, non-independent competing risks that are subject to right censoring. We define a nonparametric estimator of the incident regression function through the generalized product-limit estimator of the conditional censorship distribution function. Under suitable conditions, we establish the almost sure uniform convergence of those estimators with an appropriate rate.

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Abstract. We study a Cumulative Sum (CUSUM)-type test to detect a change in the unconditional variance of GARCH models. We show that, under the null hypothesis (no change), the CUSUM test statistic converges to the supremum of a standard Brownian bridge. Using Monte Carlo simulation, we demonstrate that the asymptotic power of the test is almost 1 and compare the test result with existing results in the literature. Finally, the test procedure is applied to real-world situation namely stock market returns where we are able to detect a change in the unconditional variance at a very early stage of the financial crisis in comparison to other previous analyses of the same dataset.Key words: GARCH model ; Change-point ; Squared cusum test ; Brownian bridge ; Weak convergence. AMS 2010 Mathematics Subject Classification : 37M10, 62F03, 62F05.Résumé. Nousétudions un test de type CUSUM pour la détection de rupture dans la variance inconditionnelle des modèles GARCH. Nous montrons que sous l'hypothèse nulle, notre statistique de test converge vers le supremum d'un pont Brownien standard. Utilisant des simulations de type Monte Carlo, nous démontrons que la puissance asymptotique du test est presqu'égaleà 1 et comparons le résultat du test avec les résultats existants dans la littérature. Enfin, un exemple d'application sur les données réelles des rendements du marché boursier nous a permis de détecter une rupture dans la variance inconditionnelleà un stade très précoce de la crise financière par rapportà d'autres analyses précédentes du même ensemble de données.