We consider a nonlinear degenerate parabolic equation containing a nonlocal term, where the spatial variable x belongs to R d , d ≥ 2. The equation serves as a replicator dynamics model where the set of strategies is R d (hence a continuum). In our model the payoff operator (which is the continuous analog of the payoff matrix) is nonsymmetric and, also, evolves with time. We are interested in solutions u(t, x) of our equation which are positive and their integral (with respect to x) over the whole space R d is 1, for any t > 0. These solutions, being probability densities, can serve as timeevolving mixed strategies of a player. We show that for our model there is an one-parameter family of self-similar such solutions u(t, x), all approaching the Dirac delta function δ(x) as t → 0 +. The present work extends our earlier work [11] which dealt with the case d = 1.

Το θέμα αυτής της διδακτορικής διατριβής είναι η ύπαρξη λύσεων ομοιότητας ειδικών μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με εφαρμογές στην εξελικτική θεωρία παιγνίων. Μελετάμε μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν έναν μη τοπικό όρο, όπου η χωρική μεταβλητή x ανήκει στον Ευκλείδειο d-διάστατο χώρο. Αυτές οι εξισώσεις προέρχονται από την εξελικτική θεωρία παιγνίων και ανήκουν στην κατηγορία των εξισώσεων/μοντέλων της αναπαραγόμενης δυναμικής, όπου ο χώρος των στρατηγικών είναι ο Ευκλείδειος d-διάστατος χώρος (άρα είναι ένα συνεχές). Επικεντρωνόμαστε στην εξίσωση της αναπαραγόμενης δυναμικής χρησιμοποιώντας δύο διαφορικούς, μη συμμετρικούς και χρονοεξαρτώμενους τελεστές αμοιβής. Οπότε μελετάμε δύο διαφορετικά προβλήματα και αποδεικνύουμε ότι έχουν μία μονοπαραμετρική οικογένεια λύσεων ομοιότητας, όπου όλες αυτές οι λύσεις προσεγγίζουν τη συνάρτηση δέλτα Dirac δ(x), καθώς ο χρόνος t πλησιάζει στο 0. Ως συναρτήσεις του x, όλες αυτές οι λύσεις είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας στον Ευκλείδειο d-διάστατο χώρο για κάθε t>0 και μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως χρονοεξελισσόμενες μεικτές στρατηγικές για έναν παίκτη. Επιπλέον, αποδεικνύουμε τις ιδιότητες και γενικά τη δομή αυτής της μονοπαραμετρικής οικογένειας λύσεων ομοιότητας για αυτά τα μοντέλα αναπαραγόμενης δυναμικής.

No abstract