The work is devoted to the synthesis of block algorithms of the FDTD method. In particular, the simultaneous difference solution of d'Alembert's and Maxwell's equations is considered. Accounting for the computer memory hierarchical structure allows the calculation time to be reduced up to six times when compared with the known software implementations of the method.

Институт систем обработки изображений РАН, 2 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва(национальный исследовательский университет) Аннотация Предложена методика отыскания совместного разностного решения волнового уравнения и системы уравнений Максвелла, позволяющая использовать достоинства и избежать недос-татков обоих упомянутых численных методов нанофотоники (сократить затраты памяти и применить известные методики задания падающей волны и наложения поглощающих слоёв). В двумерном случае на тестовых примерах продемонстрированы сходимость такого решения, возможность наложения PML-слоёв и задания падающей волны по технологии TF/SF.Ключевые слова: уравнение Даламбера, уравнения Максвелла, разностные схемы, PML-слой, методика TF/SF. ВведениеРазвитие нанофотоники [1] сопровождается как по-явлением новой элементной базы, так и разработкой численных методов расчёта дифракции света. Наи-большей популярностью среди последних пользуется FDTD (Finite -Difference Time -Domain) подход [2], основанный на разностном решении уравнений Мак-свелла и характеризующийся в силу этого универсаль-ностью. Он позволяет моделировать распространение произвольных электромагнитных волн в любой среде, в том числе и с учётом их нелинейного взаимодейст-вия. К сожалению, применение упомянутого метода сопровождают высокая вычислительная сложность и требования к объёму оперативной памяти, являясь платой за перечисленные достоинства.Сокращение вычислительной сложности при реа-лизации FDTD-метода традиционно связывают с ис-пользованием аппаратных средств, позволяющих ор-ганизовывать параллельные и векторные вычисления по нему. Результаты многолетних исследований в этой области подробно представлены в монографиях Вместе с тем в вычислительной оптике существу-ет тенденция упрощать математическую модель ис-следуемого явления, сводя её к уравнениям, процеду-ра решения которых менее требовательна к систем-ным ресурсам. Например, метод RCWA изначально формулировался для исследования дифракции моно-хроматического света на решётках, BPM -в скаляр-ном параксиальном приближении и т.д.Развиваемый в предлагаемой работе подход ха-рактеризуется переходом к двумерному случаю ди-фракции TE-волны [2] на цилиндрическом элементе (упрощение модели), приводящему к уравнению Да-ламбера. Разностное решение последнего (как будет показано далее) совпадает с результатами расчётов по FDTD-методу в указанном случае, но отличается хра-нением одной сеточной функции на двух временных слоях в отличие от FDTD (три сеточных функции на одном слое по времени), что позволяет на треть со-кратить требования на объём используемой опера-тивной памяти. Простота программной реализации также выгодно отличает выбранный подход.Будучи в свое время в фокусе внимания исследовате-лей, разностное решение уравнения Даламбера постепен-но утратило популярность в связи с развитием FDTD-метода и применялось исключительно для формирования поглощающих граничных условий [11] для последнего. Возвращение интереса к нему в настоящее время [12] связано с отмеченными пр...

A characteristic feature of mathematical modeling at the present stage of development is the consideration of the architecture of the computer system, not only for stage of compiling a computer program, but also during the development of a numerical method and synthesis of the mathematical model. This method significantly broadens the researcher's ability to search for the optimal mapping of the numerical method to the mentioned architecture, in the sense of accelerating computations. In this paper, this idea is illustrating by examples of the basic mathematical model of computational electrodynamics and optics, Maxwell's equations, and the FDTD. This modification allows to reducing the data exchange rate between the operational and cache memory due to the greater number of arithmetic operations per one grid function in solving the d'Alembert equation. On the other hand, freely use the technologies FDTD method and ready-made software implementations for setting the incident wave, imposing the absorbing layers, taking into account the dispersion of the medium.

The paper proposes a modification of the pyramid method for constructing algorithms for the difference solution of the d'Alembert equation on a graphics processor in the event of a shortage of video memory. The authors demonstrate the effectiveness of the method on the practical example of dividing the grid area into two sub domains. Acceleration reaches the characteristic for the case of a domain entirely located in the video memory. In the article investigated the effectiveness of using the author's approach depending on the height of the pyramid and showed the boundaries of applicability of the proposed modification.

No abstract