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Niveau A1 bis A2 Mit dem Übungsbuch Deutsch Grammatik A1/A2 können Jugendliche und Erwachsene alle wichtigen grundlegenden Grammatikthemen (Niveau A1 bis A2) effizient trainieren und festigen. Die Aufgaben sind stark anwendungs- und handlungsorientiert. Jedes Grammatikthema wird nach dem optimalen Lernweg vermittelt: Bewusstmachen – Kontextualisieren – Anwenden – Festigen. Die Anwendungssituationen kommen aus dem Alltag und beziehen die Lebenswirklichkeit der Lernenden mit ein. • ansprechend vierfarbig gestaltet mit humorvollen, lernfördernden Illustrationen • Die Übungen sind nach Schwierigkeit gekennzeichnet. • abwechslungsreiche Übungstypen • Förderung der mündlichen und schriftlichen Sprachproduktion • Die Erklärungen sind in einfachem Deutsch verfasst. Im Vorwort werden Aufbau, Symbole und Nutzung auf Deutsch, Englisch und Arabisch erklärt.

The Flatness theorem states that the maximum lattice width Flt(d) of a d-dimensional lattice-free convex set is finite. It is the key ingredient for Lenstra's algorithm for integer programming in fixed dimension, and much work has been done to obtain bounds on Flt(d). While most results have been concerned with upper bounds, only few techniques are known to obtain lower bounds. In fact, the previously best known lower bound Flt(d) ≥ 1.138d arises from direct sums of a 3-dimensional lattice-free simplex. In this work, we establish the lower bound Flt(d) ≥ 2d − O( √ d), attained by a family of lattice-free simplices. Our construction is based on a differential equation that naturally appears in this context. Additionally, we provide the first local maximizers of the lattice width of 4-and 5-dimensional lattice-free convex bodies.