A short review on numerical methods for solving inverse problems of spectral analysis for Sturm-Liouville differential operators is presented; moreover, a new approach based on ideas of the method of spectral mappings is given. Results of numerical experiments are also presented. Mathematics Subject Classification (2000). Primary 65L09; Secondary 34A55, 47E05.

Исследуется краевая задача вида $Ly=\rho^2 y$, $y(0)=y'(\pi)+i\rho y(\pi)=0$, где $L$ - оператор Штурма - Лиувилля с постоянным запаздыванием $a$. Данная краевая задача является обобщением классической задачи Редже. Потенциал $q( \cdot )$ есть вещественнозначная функция из пространства $L_2(0,\pi)$, обращающаяся в 0 почти всюду на $(0,a)$. Никаких других ограничений на потенциал не налагается, в частности, не предполагается никаких дополнительных условий относительно поведения $q(x)$ при $x\to \pi$. При столь общих предположениях асимптотическое разложение характеристической функции краевой задачи при $\rho\to\infty$ не содержит главного члена. Как следствие, стандартные методы не позволяют получить в явном виде асимптотику спектра. В работе рассматривается обратная задача восстановления оператора по заданному подмножеству спектра краевой задачи. Обратные задачи для дифференциальных операторов с отклоняющимся аргументом существенно сложнее по сравнению с классическими обратными задачами для дифференциальных операторов. «Нелокальность» таких операторов является непреодолимым препятствием для применения классических методов теории обратных задач. Мы рассматриваем обратную задачу в случае запаздывания, большего или равного половине длины интервала, и показываем, что задание подмножества спектра краевой задачи при определенных условиях однозначно определяет потенциал. Соответствующие подмножества спектра описываются в терминах их плотности. В работе также представлена конструктивная процедура решения обратной задачи.

An inverse spectral problem for some integro-differential operator of fractional order {\alpha\in(1,2)} is studied. We show that the specification of the spectrum together with a certain a priori information about the structure of the operator determines such operator uniquely. The proof is constructive and provides a procedure for solving the inverse problem.

The paper deals with the Sturm-Liouville operator with singular potential. We assume that the potential is a sum of an a priori known distribution from a certain class and an unknown sufficiently smooth function. The inverse problem is to recover the operator using zeros of eigenfunctions (nodes) as an input data. For this inverse problem we obtain a procedure for constructing the solution. Mathematics Subject Classification (2000). Primary 34A55; Secondary 34B24, 47E05.

We consider some integral transforms with the kernels expressed in terms of solutions of the system of differential equations \( y'=(x^{-1}A+B)y, \) where \(A\) and \(B\) are constant \(n\times n\), \(n>2\) , matrices. We study analytical and asymptotical properties of such transforms. We also study the transforms as operators acting in some functional spaces.