A path decomposition of a graph G is a set of edge‐disjoint paths of G that covers the edge set of G. Gallai (1968) conjectured that every connected graph with n vertices admits a path decomposition of size at most ⌊(n+1)∕2⌋. Gallai's conjecture was verified for many classes of graphs. In particular, Lovász (1968) verified this conjecture for graphs with at most one vertex of even degree, and Pyber (1996) verified it for graphs in which every cycle contains a vertex of odd degree. Recently, Bonamy and Perrett verified Gallai's conjecture for graphs with maximum degree at most 5. In this paper, we verify Gallai's conjecture for graphs with treewidth at most 3. Moreover, we show that the only graphs with treewidth at most 3 that do not admit a path decomposition of size at most ⌊n∕2⌋ are isomorphic to K3 or K5−, the graph obtained from K5 by removing an edge.

In this paper we introduce a superclass of split digraphs, which we call spine digraphs. Those are the digraphs D whose vertex set can be partitioned into two sets X and Y such that the subdigraph induced by X is traceable and Y is a stable set. We also show that Linial's Conjecture holds for spine digraphs.

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Seja D um digrafo e k um inteiro positivo. Uma partição em caminhos P é uma coleção de caminhos tal que {V (P ) : P ∈ P} é uma partição de V (D). A k-norma de P, denotada por |P| k , é P ∈P min{|V (P )|, k}. Uma k-coloração parcial C de D é um empacotamento de V (D) tal que |C| ≤ k e todo C ∈ C é um conjunto independente de D. Seja π k (D) = min{|P| k : P é uma partição em caminhos de D}, V (C) = ∪ C∈C C, e α k (D) = max{|V (C)| : C é uma k-coloração parcial de D}. Linial (1981) conjecturou que π k (D) ≤ α k (D) para todo digrafo D. Verificamos essa conjectura para digrafos spine e digrafos cujo grafo subjacente é série-paralelo. Uma k-coloração parcial C é ortogonal a uma partição em caminhos P se todo caminho P ∈ P intersecta min{|V (P )|, k} conjuntos independentes em C. Berge (1982) conjecturou que se P é uma partição em caminhos tal que |P| k = π k (D), então existe uma k-coloração parcial de D ortogonal à P. Verificamos essa conjectura para digrafos locally in-semicomplete e para partições em caminhos contendo apenas dois caminhos. Uma coloração C é uma partição de V (D) onde cada C ∈ C é um conjunto independente. A k-norma de C, denotada por |C| k , é C∈C min{|C|, k}. Um k-empacotamento de caminhos P é uma coleção de caminhos tal que {V (P ) : P ∈ P} é um empacotamento de V (D) e |P| ≤ k. Seja V (P) = ∪ P ∈P V (P ). Dizemos que P é máximo se |V (P)| ≥ |V (P ′ )| para todo k-empacotamento de caminhos P ′ de D. Uma coloração C de D é ortogonal a um k-empacotamento de caminhos se toda cor C ∈ C intersecta min{|C|, k} caminhos em P. Aharoni, Hartman, e Hoffman (1985) conjecturaram que se P é um k-empacotamento de caminhos máximo, então existe uma coloração de D ortogonal à P. Verificamos essa conjectura para digrafos locally in-semicomplete. Dado um S ⊆ V (D), uma partição em caminhos P de D é uma S-partição em caminhos se |V (P ) ∩ S| = 1 para todo P ∈ P. Dizemos que D satisfaz a propriedade α se existe uma S-partição em caminhos para todo conjunto independente máximo S de D, e que D é α-diperfeito se todo subdigrafo induzido de D satisfaz a propriedade α. Um digrafo C é um ciclo ímpar anti-orientado se, e (ii) cada um dos vértices x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 6 , x 8 , . . . , x 2k é ou uma fonte ou um sorvedouro. Berge (1982) conjecturou que um digrafo é α-diperfeito se, e somente se, ele não contém um ciclo ímpar anti-orientado como subdigrafo induzido. Verificamos essa conjectura para digrafos locally in-semicomplete e para digrafos cujo grafo subjacente é série-paralelo. Além disso, propomos uma variação desta conjectura e a verificamos para digrafos cujo grafo subjacente é perfeito ou série-paralelo, para digrafos locally in-semicomplete, e para digrafos 2-semi-simétricos. Seja G um grafo. Uma coleção de caminhos P = {P i } ℓ i=1 é uma decomposição em caminhos de G se {E(P i )} ℓ i=1 é uma partição de E(G). Seja pn(G) = min{|P| : P é uma decomposição em caminhos de G}. Gallai (1968) conjecturou que, para todo grafo conexo G, pn(G) ≤ ⌈|V (G)|/2⌉. Verificamos esta conjectura para grafos planares com cintura ...

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