Necessary and sufficient conditions for the commutativity of linear time-varying systems are derived in the case of nonzero initial conditions. It is shown that some commutative class of linear time-varying systems may not commute with arbitrary initial conditions. In this respect, commutativity of Euler differential systems is investigated. Explicit commutativity conditions for the fifth-order systems are solved. New results about the effects of commutativity on system sensitivity and disturbance properties are presented, which is very important for network design and industrial applications where many of the systems are composed of subsystems cooperating one after another in a chain. The results are supported by examples treated either analytically or numerically.

After summarizing the commutativity results for analogue linear time-varying systems, the commutativity of cascade connected discrete-time linear time-varying systems is introduced. Some general open questions on the subject are stated and new results are presented, intended to answer some of them. Two examples are given to reinforce the concept and to show up its possible benefits in engineering to reduce noise effects and design robust systems.

No abstract

No abstract

Öz Çoğu mühendislik sistemlerinin gerçekleştirilmesi, daha basit sistemlerin ardışık bağlantıları ile yapılmaktadır. Bu durum elektrik ve elektronik sistemlerinin tasarımında çok önemlidir. Her ne kadar bu alt sistemlerin bağlantı sırası, kullanılan özel tasarım yöntemlerine, mühendislik tecrübesine, alışılagelmiş sentez yöntemlerine bağlı olmakla beraber, hassasiyet, kararlılık, doğrusallık, gürültüden etkilenme ve dayanıklılık hususları göz önüne alındığında toplam sistemin ana fonksiyonunu değiştirmeden alt sistemlerin bağlantı sırasının değiştirilmesi (komütativite) pozitif sonuçlara yol açabilmektedir. Bu nedenle pratik uygulamalar açısından komütativite çok önemlidir. Bu çalışmada, Lame diferansiyel denkleminin bir türünün komütativite koşulları incelenmiştir. İkinci dereceden doğrusal zamanla değişen sürekli-zaman sistemlerinin komütativitesi için teorik sonuçlar ışığında Lame'nin diferansiyel denklemi ile modellenen sistemin denklemin parametrelerine bağlı olarak komütatif çiftleri olduğu kanıtlanmıştır. Lame diferansiyel denklemi ile modellenen sistemin komütatif eşleniği oluşturulmuştur. Teorik sonuçları desteklemek için açıklayıcı bir örnek ele alınmıştır. Örnek'te MATLAB 2019b'nin Simulink araç kutusu kullanılmıştır. Sabit adım uzunluğuna sahip çözücü olarak Ode45 kullanılmıştır. Sayısal sonuçlar sunulmuştur. ∈ [0, 120] için hesaplanan cevapların özdeş olduğu, bunun da sıfır başlangıç koşulları altında komütativite sonuçlarının geçerliliğini kanıtladığı görülmüştür. Rasgele seçilen başlangıç koşulları ile komütativitenin geçerli olup olmadığı da test edilmiştir. Komütativitenin uygun şekilde seçilmeyen, keyfi olarak seçilen başlangıç koşulları için bozulduğu gözlenmiştir. Lame diferansiyel denklemi ile modellenen sistemlerin sıfır olmayan başlangıç koşulları ile komütativite teorisi, (Koksal, 2019b) genel formülleri kullanılarak ilerili çalışmalarda incelenebilir.