Прямая Зоргенфрея это вещественная прямая с топологией, база которой состоит из всех полу-интервалов, открытых справа. В работе доказывается, что при натуральных m > 1 не существует непрерывного замкнутого отображения m -й степени прямой Зоргенфрея на саму прямую Зоргенфрея, и что при натуральных n > 2 не существует непрерывного факторного отображения квадрата прямой Зоргенфрея на n -ю степень прямой Зоргенфрея.Ключевые слова: прямая Зоргенфрея, конечные степени прямой Зоргенфрея, непрерывное отображение, замкнутое отображение, факторное отображение. § 1. Введение Топологическое пространство прямая Зоргенфрея , обозначаемое S это вещественная прямая с топологией, база которой состоит из всех полуинтервалов, открытых справа. Статья посвящена изучению следующего вопроса:Пусть m и n натуральные числа, а K некоторый класс непрерывных отображений. Существует ли отображение f : S m на − → S n , принадлежащее классу K?В качестве K в статье рассматриваются следующие классы непрерывных отображений: все отображения, взаимно однозначные отображения, факторные отображения, замкнутые отоб-ражения, открытые отображения и гомеоморфизмы. Ранее были известны ответы на данный вопрос в следующих случаях: -если n 2, то не существует непрерывного отображения S на S n , -если m = n, то не существует гомеоморфизма S m на S n , -если m 2, то существует непрерывное взаимно однозначное отображение S m на S n .Первое утверждение является хорошо известным фактом и следует из того, что прямая Зор-генфрея линделёфова, а её конечные степени, начиная со второй, даже не нормальны (см., напр., [1, примеры 2.3.12 и 3.8.14]). Второе утверждение доказано Д. К. Бурке и Д. Дж. Латце-ром в 1987 г. [2]. Последнее утверждение в случае m > n легко выводится из факта существо-вания непрерывного взаимно однозначного отображение S 2 на S, которое было построено Бурке и Латцером в той же статье [2]. В случае m < n последнее утверждение доказано автором в 2004 г. в работе [3].В данной статье получены ответы на рассматриваемый вопрос в следующих случаях (см. ниже следствие 2 и теорему 2):-если m 2, то не существует непрерывного замкнутого отображения S m на S, -если n 3, то не существует непрерывного факторного отображения S 2 на S n .В следующей таблице собраны вместе все приведённые выше результаты, их очевидные следствия, а также простые следствия того общего факта, что проекция является непрерывным открытым отображением:1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (грант 09-01-00139-а) и Фундаментальной программы ОМН РАН (проект 09-Т-1-1004). Существует ли непрерывное отображение f :Символы N и R обозначают множество натуральных чисел и множество вещественных чи-сел, символы R и S обозначают пространство вещественных чисел с естественной топологией и прямую Зоргенфрея.. . , a n обозначается точка в R n с координатами a 1 , . . . , a n . Через A и F r(A) обозначаются замыкание и граница множества A. Символ := означает равно по определению . При a = a 1 , . . . , a n ∈ R n и ε > 0 рассматривается множествокоторое является базисной ε -окрестностью ...
